Manual · pagina 84

Exercițiul 18 · Compuneri cu $f(x) = \left[\frac x2\right]$

Se consideră funcția $f : \mathbb N \to \mathbb N$ , $f(x) = \left[\dfrac x2\right]$ .

a) Verifică faptul că există o infinitate de funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât $f \circ g = 1_{\mathbb N}$ .

b) Există funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât $g \circ f = 1_{\mathbb N}$ ?

a)Verifică faptul că există o infinitate de funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ .

Condiția este

\left[\frac{g(y)}2\right] = y

pentru orice

y

. Pentru un

y

fixat, ce numere naturale au „jumătatea, rotunjită în jos” egală cu

y

1. Ce înseamnă ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$
$(f \circ g)(y) = f(g(y))$ (manual, p. 80), iar $1_{\mathbb N}(y) = y$ (funcția identică, manual, p. 81). Condiția cere deci, pentru orice $y \in \mathbb N$ :
$\left[\frac{g(y)}2\right] = y.$
Adică $g(y)$ trebuie să fie un număr natural a cărui jumătate, rotunjită în jos, este $y$ .
Partea întreagă (din gimnaziu)
Pentru $k \in \mathbb Z$ : $[t] = k$ exact când $k \le t < k + 1$ . De exemplu $[4{,}8] = 4$ , pentru că $4 \le 4{,}8 < 5$ .
2. Ce valori poate avea $g(y)$
Începem cu un exemplu, $y = 3$ : căutăm numerele naturale $m$ cu $\left[\frac m2\right] = 3$ .
Verifică-te
Ce valori poate avea $g(3)$ ?
În general, din definiția părții întregi:
$\begin{aligned} &\left[\frac{g(y)}2\right] = y \\ &\iff y \le \frac{g(y)}2 < y + 1 \\ &\iff 2y \le g(y) < 2y + 2 \end{aligned}$
Singurele numere naturale din acest interval sunt $2y$ și ${2y + 1}$ . Deci ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ exact când $g(y) \in \{2y,\ 2y + 1\}$ pentru fiecare $y$ .
3. O infinitate de funcții
Pentru fiecare $y$ alegem, independent, una dintre cele două valori. De exemplu, $g(y) = 2y$ și $g(y) = 2y + 1$ sunt două funcții bune.
Ca să obținem o infinitate, pentru fiecare $k \in \mathbb N$ luăm funcția $g_k$ care alege ${2y + 1}$ doar în $y = k$ și $2y$ în rest. Toate verifică ${f \circ g_k = 1_{\mathbb N}}$ și sunt diferite: $g_k(k) = 2k + 1$ , dar $g_j(k) = 2k$ pentru $j \ne k$ .
O funcție $g$ bună: fiecare $y$ merge în $2y$ sau în ${2y + 1}$ , iar $f$ îl aduce înapoi în $y$ .

Răspuns

{f \circ g = 1_{\mathbb N}}

înseamnă

\left[\frac{g(y)}2\right] = y

, adică

g(y) \in \{2y,\ 2y + 1\}

pentru orice

y \in \mathbb N

. Alegerea se face independent pentru fiecare

y

, deci există o infinitate de funcții

g

(de exemplu

g_k

{2y + 1}

doar în

y = k

2y

în rest).

b)Există funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ ?

Calculează

f(0)

și

f(1)

. Ce ar trebui să fie

g

în acel număr?

1. Ce înseamnă ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$
Acum $f$ se aplică primul: condiția este $g(f(x)) = x$ pentru orice $x \in \mathbb N$ (manual, pp. 80–81), adică
$g\left(\left[\frac x2\right]\right) = x.$
Funcția $g$ primește $f(x)$ și trebuie să-l reconstituie pe $x$ . Asta e imposibil dacă două numere diferite au aceeași imagine prin $f$ . Încercăm numerele mici.
Verifică-te
Cât sunt $f(0)$ și $f(1)$ ?
2. Contradicția
Scriem condiția pentru $x = 0$ și pentru $x = 1$ :
pentru $x = 0$ : $g(f(0)) = g(0) = 0$ ;
pentru $x = 1$ : $g(f(1)) = g(0) = 1$ .
Deci $g(0)$ ar trebui să fie în același timp $0$ și $1$ , imposibil pentru o funcție. Așadar nu există $g$ cu ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ .
$f$ duce și $0$ , și $1$ în $0$ . Ca să-i întoarcă pe amândoi, $g(0)$ ar trebui să aibă două valori.
Compară cu a)
La a) există o infinitate de funcții $g$ cu ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ , aici niciuna cu ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ . Este situația inversă celei din exercițiul 16, unde $f(x) = 2x$ .

Răspuns

Nu.

f(0) = f(1) = 0

, deci

{g \circ f = 1_{\mathbb N}}

ar cere

g(0) = 0

(din

x = 0

) și

g(0) = 1

(din

x = 1

), imposibil.

Exercițiul 18 · Compuneri cu f(x)=[x2]f(x) = \left[\frac x2\right]f(x)=[2x​]

a)Verifică faptul că există o infinitate de funcții g:N→Ng : \mathbb N \to \mathbb Ng:N→N astfel încât f∘g=1N{f \circ g = 1_{\mathbb N}}f∘g=1N​.

1. Ce înseamnă f∘g=1N{f \circ g = 1_{\mathbb N}}f∘g=1N​ ✓

2. Ce valori poate avea g(y)g(y)g(y) ✓

3. O infinitate de funcții ✓

b)Există funcții g:N→Ng : \mathbb N \to \mathbb Ng:N→N astfel încât g∘f=1N{g \circ f = 1_{\mathbb N}}g∘f=1N​?

1. Ce înseamnă g∘f=1N{g \circ f = 1_{\mathbb N}}g∘f=1N​ ✓

2. Contradicția ✓

Exercițiul 18 · Compuneri cu $f(x) = \left[\frac x2\right]$

a)Verifică faptul că există o infinitate de funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ .

1. Ce înseamnă ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$

2. Ce valori poate avea $g(y)$

3. O infinitate de funcții

b)Există funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ ?

1. Ce înseamnă ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$

2. Contradicția