MateClar
← Capitol

Manual · pagina 84

Exercițiul 19 · Pata de ulei

Un lac este poluat de o pată de ulei de formă circulară care se extinde continuu. Raza cercului (în metri) crește în funcție de timp (în secunde) conform funcției r:[0,∞)→Rr : [0, \infty) \to \mathbb R, r(t)=0,5tr(t) = 0{,}5t. Aria suprafeței poluate (în metri pătrați) depinde de rază conform formulei ariei cercului: A:[0,∞)→RA : [0, \infty) \to \mathbb R, A(r)=3,14⋅r2A(r) = 3{,}14 \cdot r^2 (π≈3,14)(\pi \approx 3{,}14).

a) Determină funcția care exprimă aria poluată în funcție de timp, folosind compunerea funcțiilor (A∘r)(t)(A \circ r)(t).

b) Calculează cât de mare este suprafața poluată după 10 secunde de la apariția petei.

a)Determină funcția care exprimă aria poluată în funcție de timp, folosind compunerea funcțiilor (A∘r)(t)(A \circ r)(t).

Din timp afli raza, din rază afli aria. Înlocuiește rr din formula ariei cu 0,5t0{,}5t, cu paranteze.

  1. 1. Un lanț de două funcții

    Avem două „mașini”: rr transformă timpul în rază, iar AA transformă raza în arie. Aria în funcție de timp se obține trecând prin amândouă, în ordine: întâi rr, apoi AA. Asta este compunerea A∘rA \circ r.
    Compunerea are sens pentru că valorile lui rr sunt bune pentru AA: pentru t≥0t \ge 0, raza r(t)=0,5t≥0r(t) = 0{,}5t \ge 0 este în [0,∞)[0, \infty), domeniul lui AA. Pe câteva valori:
    tt (s)
    rr (m)
    AA (m²)
    rr
    AA
    00
    22
    44
    00
    11
    22
    00
    3,143{,}14
    12,5612{,}56

    După 22 secunde raza este 11 m și aria 3,143{,}14 m²; după 44 secunde, 22 m și 12,5612{,}56 m².

  2. 2. Calculăm compunerea

    În formula A(r)=3,14⋅r2A(r) = 3{,}14 \cdot r^2 punem, în locul lui rr, numărul r(t)=0,5tr(t) = 0{,}5t, cu paranteze:
    (A∘r)(t)=A(r(t))=3,14⋅(0,5t)2\begin{aligned} (A \circ r)(t) &= A\big(r(t)\big) \\ &= 3{,}14 \cdot (0{,}5t)^2 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este (0,5t)2(0{,}5t)^2?
    Apoi 3,14⋅0,25=0,7853{,}14 \cdot 0{,}25 = 0{,}785. Deci aria în funcție de timp este:
    (A∘r)(t)=0,785 t2,t≥0(A \circ r)(t) = 0{,}785\, t^2, \quad t \ge 0
    Verificare cu diagrama: pentru t=4t = 4, 0,785⋅16=12,560{,}785 \cdot 16 = 12{,}56, aceeași arie ca prin cele două etape.
Răspuns
A∘r:[0,∞)→RA \circ r : [0, \infty) \to \mathbb R, (A∘r)(t)=3,14⋅(0,5t)2{(A \circ r)(t) = 3{,}14 \cdot (0{,}5t)^2}, adică (A∘r)(t)=0,785 t2{(A \circ r)(t) = 0{,}785\, t^2} (metri pătrați, tt în secunde).

b)Calculează cât de mare este suprafața poluată după 10 secunde de la apariția petei.

Timpul este t=10t = 10. Poți folosi formula de la a) sau cele două etape: întâi raza după 10 secunde, apoi aria.

  1. 1. Ce calculăm: (A∘r)(10)(A \circ r)(10)

    „După 10 secunde” înseamnă t=10t = 10. Ne interesează aria la acest moment, deci valoarea compunerii, (A∘r)(10)(A \circ r)(10), nu A(10)A(10): numărul 1010 este un timp, nu o rază.

    Mergem pe lanț: raza după 1010 secunde este r(10)=0,5⋅10=5r(10) = 0{,}5 \cdot 10 = 5 metri.

    Verifică-te

    Cât este aria (A∘r)(10)=A(5)(A \circ r)(10) = A(5)?

  2. 2. Pe grafic

    După 1010 secunde pata acoperă 78,578{,}5 m². Graficul ariei în funcție de timp arată că pata nu crește uniform: în a doua jumătate a intervalului aria crește de trei ori mai mult decât în prima.
    123456789101020304050607080Oxy
    A∘rA \circ r
    (5; 19,6)(5;\ 19{,}6)
    (10; 78,5)(10;\ 78{,}5)

    Aria petei, în m², după tt secunde. De la 00 la 55 s crește cu aproximativ 19,619{,}6 m², de la 55 la 1010 s cu aproximativ 58,958{,}9 m².

Răspuns
După 1010 secunde raza este r(10)=5r(10) = 5 m, iar suprafața poluată este (A∘r)(10)=3,14⋅52{(A \circ r)(10) = 3{,}14 \cdot 5^2}, adică 78,578{,}5 m².