Manual · pagina 82

Exercițiul 2 · Monotonia lui $a \cdot f$

Justifică faptul că produsul dintre o funcție numerică monotonă și un număr

a \in \mathbb R^*

este o funcție monotonă.

Justifică faptul că produsul dintre o funcție numerică monotonă și un număr $a \in \mathbb R^*$ este o funcție monotonă.

Pornește de la definiția monotoniei,

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)

, și înmulțește inegalitatea cu

a

. Contează semnul lui

a

1. Ce trebuie arătat
Monotonie (manual, p. 70) și funcția $a f$ (manual, p. 79)
$f\colon D \to \mathbb R$ este crescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ și descrescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)$ (cu $<$ , respectiv $>$ , pentru „strict”).
Pentru $a \in \mathbb R$ , funcția $a f\colon D \to \mathbb R$ este $(a f)(x) = a \cdot f(x)$ .
Fie $f$ monotonă și $a \ne 0$ . Trebuie să arătăm că $a f$ este și ea crescătoare sau descrescătoare. Luăm întâi cazul $f$ crescătoare: pentru orice $x_1 < x_2$ din $D$ avem $f(x_1) \le f(x_2)$ . Înmulțim această inegalitate cu $a$ .
2. Cele două semne ale lui $a$
Dacă $a > 0$ , înmulțirea cu un număr pozitiv păstrează sensul inegalității: $a f(x_1) \le a f(x_2)$ , adică $(a f)(x_1) \le (a f)(x_2)$ . Deci $a f$ este crescătoare, ca $f$ .
Verifică-te
Dacă $a < 0$ , ce obții când înmulțești $f(x_1) \le f(x_2)$ cu $a$ ?
$f(x) = x + 1$ urcă. $2f$ urcă și ea (mai repede), iar $-f$ coboară: graficul se oglindește față de $Ox$ .
3. Toate cazurile
Dacă $f$ este descrescătoare, $f(x_1) \ge f(x_2)$ , și același raționament dă: pentru $a > 0$ , $a f$ e descrescătoare; pentru $a < 0$ , $a f$ e crescătoare.
$a$ monotonia lui $a f$
$a > 0$ aceeași ca a lui $f$
$a < 0$ opusă celei a lui $f$
În toate cazurile $a f$ este monotonă. Cum $a \ne 0$ , inegalitățile stricte rămân stricte: dacă $f$ este strict monotonă, la fel este și $a f$ .
De ce $a \ne 0$
Pentru $a = 0$ se obține funcția constantă $0$ , care nu mai este strict monotonă, chiar dacă $f$ era.

$a$	monotonia lui $a f$
$a > 0$	aceeași ca a lui $f$
$a < 0$	opusă celei a lui $f$

Răspuns

Pentru

x_1 < x_2

, înmulțind

f(x_1) \le f(x_2)

(sau

\ge

) cu

a

: pentru

a > 0

sensul se păstrează, pentru

a < 0

se inversează. Deci

a f

este monotonă: cu aceeași monotonie ca

f

dacă

a > 0

și cu monotonia opusă dacă

a < 0

Exercițiul 2 · Monotonia lui a⋅fa \cdot fa⋅f

Justifică faptul că produsul dintre o funcție numerică monotonă și un număr a∈R∗a \in \mathbb R^*a∈R∗ este o funcție monotonă.

1. Ce trebuie arătat ✓

2. Cele două semne ale lui aaa ✓

3. Toate cazurile ✓

Exercițiul 2 · Monotonia lui $a \cdot f$

Justifică faptul că produsul dintre o funcție numerică monotonă și un număr $a \in \mathbb R^*$ este o funcție monotonă.

1. Ce trebuie arătat

2. Cele două semne ale lui $a$

3. Toate cazurile