Manual · pagina 82

Exercițiul 3 · Monotonia sumei a două funcții

(Activitate în pereche)

a) Dați exemplu de sumă a două funcții numerice de aceeași monotonie pentru care funcția sumă este monotonă. Se poate generaliza acest rezultat pentru suma oricăror două funcții de aceeași monotonie?

b) Determinați monotonia funcțiilor:

i) $f\colon (0, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac1x - x^2$ ;

ii) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^3 + x + 1$ .

c) Rezolvați în $\mathbb R$ inecuațiile: i) $1 - x^2 < 0$ ; ii) $x^3 + x + 1 \le 3$ .

a)Dați exemplu de sumă a două funcții numerice de aceeași monotonie pentru care funcția sumă este monotonă. Se poate generaliza acest rezultat pentru suma oricăror două funcții de aceeași monotonie?

Alege două funcții crescătoare simple, de exemplu pe

[0, \infty)

. Pentru generalizare: două inegalități de același sens se pot aduna.

1. Un exemplu
Funcție strict crescătoare (manual, p. 70)
$f\colon D \to \mathbb R$ este strict crescătoare dacă, pentru orice $x_1, x_2 \in D$ , $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .
Luăm $f, g\colon [0, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = x$ și $g(x) = x^2$ . Ambele sunt strict crescătoare:
$f$ , evident: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ ;
$g$ : dacă $0 \le x_1 < x_2$ , înmulțim $x_1 < x_2$ cu numerele nenegative $x_1$ , apoi $x_2$ : $x_1^2 \le x_1 x_2 < x_2^2$ .
Suma este $(f + g)(x) = x^2 + x$ .
Verifică-te
Pentru $0 \le x_1 < x_2$ avem $x_1 < x_2$ și $x_1^2 < x_2^2$ . Ce obții adunând cele două inegalități, membru cu membru?
Toate trei urcă pe $[0, \infty)$ ; suma urcă mai repede decât fiecare termen.
2. Generalizarea
Același argument merge pentru orice $f, g\colon D \to \mathbb R$ crescătoare: dacă $x_1 < x_2$ , atunci $f(x_1) \le f(x_2)$ și $g(x_1) \le g(x_2)$ , iar prin adunare
$(f + g)(x_1) \le (f + g)(x_2).$
Deci $f + g$ este crescătoare. Pentru $f, g$ descrescătoare, inegalitățile au sensul $\ge$ și suma este descrescătoare.
Dacă măcar una dintre funcții este strict monotonă, una dintre inegalitățile adunate este strictă, iar suma este strict monotonă.
3. Atenție la monotonii diferite
Când monotoniile sunt diferite, nu putem aduna inegalități de sensuri opuse. De exemplu, pe $[0, \infty)$ , $g(x) = x^2$ e crescătoare și $h(x) = -2x$ e descrescătoare, dar $g + h$ coboară și apoi urcă:
$x$ $0$ $1$ $2$
$x^2 - 2x$ $0$ $-1$ $0$
Deci $x^2 - 2x$ nu este monotonă pe $[0, \infty)$ . Rezultatul se referă doar la funcții de aceeași monotonie.

$x$	$0$	$1$	$2$
$x^2 - 2x$	$0$	$-1$	$0$

Răspuns

Exemplu: $f(x) = x$ și $g(x) = x^2$ , pe $[0, \infty)$ , sunt strict crescătoare, iar $(f + g)(x) = x^2 + x$ este strict crescătoare.

Da, rezultatul se generalizează: suma a două funcții crescătoare este crescătoare, iar suma a două funcții descrescătoare este descrescătoare.

b)Determinați monotonia funcțiilor: i) $f\colon (0, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac1x - x^2$ ; ii) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^3 + x + 1$ .

Scrie fiecare funcție ca o sumă de funcții simple a căror monotonie o cunoști, apoi folosește punctul a).

1. i) Descompunem în două funcții simple
Scriem $f(x) = \dfrac1x + \left(-x^2\right)$ , o sumă de două funcții pe $(0, \infty)$ :
$\frac1x$ este strict descrescătoare pe $(0, \infty)$ (manual, p. 72, observația de după problema rezolvată 3): pentru $0 < x_1 < x_2$ , $\frac1{x_1} > \frac1{x_2}$ .
$x^2$ este strict crescătoare pe $(0, \infty)$ : pentru $0 < x_1 < x_2$ , $x_1^2 < x_1 x_2 < x_2^2$ .
Verifică-te
Ce monotonie are $-x^2$ pe $(0, \infty)$ ?
2. i) Concluzia
Ambii termeni sunt strict descrescători pe $(0, \infty)$ . După punctul a), suma lor este strict descrescătoare: pentru $0 < x_1 < x_2$ , adunăm $\frac1{x_1} > \frac1{x_2}$ cu $-x_1^2 > -x_2^2$ și obținem $f(x_1) > f(x_2)$ .
$f(x) = \frac1x - x^2$ coboară pe tot intervalul $(0, \infty)$ .
3. ii) Funcția $x^3 + x + 1$
Scriem $f(x) = x^3 + (x + 1)$ . Funcția $x + 1$ este strict crescătoare (dreaptă cu panta $1 > 0$ ). Pentru $x^3$ , fie $x_1 < x_2$ . Diferența se descompune (din gimnaziu):
$\begin{aligned} x_2^3 - x_1^3 &= (x_2 - x_1) \\ &\quad \cdot \left(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2\right) \end{aligned}$
Primul factor e pozitiv. Al doilea se scrie $\left(x_1 + \frac{x_2}2\right)^2 + \frac{3x_2^2}4$ , o sumă de pătrate, care este $0$ doar dacă $x_1 = x_2 = 0$ ; cum $x_1 \ne x_2$ , este pozitiv. Deci $x_1^3 < x_2^3$ : $x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$ .
Verifică-te
Ce monotonie are $f(x) = x^3 + x + 1$ pe $\mathbb R$ ?
$f(x) = x^3 + x + 1$ urcă pe tot $\mathbb R$ .

Răspuns

i) $f(x) = \frac1x - x^2$ este strict descrescătoare pe $(0, \infty)$ .

ii) $f(x) = x^3 + x + 1$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$ .

c)Rezolvați în $\mathbb R$ inecuațiile: i) $1 - x^2 < 0$ ; ii) $x^3 + x + 1 \le 3$ .

La ii), membrul stâng este funcția de la b) ii), strict crescătoare. Caută un număr simplu pentru care ea ia valoarea

3

1. i) Rescriem inecuația
Adunăm $x^2$ în ambii membri: $1 - x^2 < 0 \iff x^2 > 1$ . Lucrăm separat pe cele două semne ale lui $x$ .
Pentru $x \ge 0$ : $x^2$ este strict crescătoare pe $[0, \infty)$ , deci $x^2 > 1^2 \iff x > 1$ .
Pentru $x < 0$ : $x^2 = (-x)^2$ , cu $-x > 0$ , deci $x^2 > 1 \iff -x > 1$ .
Verifică-te
Ce soluții dă cazul $x < 0$ ?
2. i) Soluția
Reunim cele două cazuri: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ . Capetele $\pm 1$ nu sunt soluții, pentru că acolo $1 - x^2 = 0$ , iar inegalitatea cerută este strictă.
Graficul este sub axa $Ox$ exact pentru $x < -1$ sau $x > 1$ .
3. ii) Folosim monotonia
Funcții strict monotone (manual, p. 70 și p. 72)
O funcție strict monotonă ia fiecare valoare cel mult o dată. Pentru $f$ strict crescătoare: $x_1 < x_2 \iff f(x_1) < f(x_2)$ .
Membrul stâng este $f(x) = x^3 + x + 1$ , strict crescătoare pe $\mathbb R$ (punctul b) ii). Ca să comparăm $f(x)$ cu $3$ , căutăm un număr $x_0$ cu $f(x_0) = 3$ .
Verifică-te
Care număr întreg $x_0$ verifică $x_0^3 + x_0 + 1 = 3$ ?
4. ii) Soluția
Inecuația devine $f(x) \le f(1)$ . Pentru că $f$ este strict crescătoare:
dacă $x > 1$ , atunci $f(x) > f(1) = 3$ : nu e soluție;
dacă $x \le 1$ , atunci $f(x) \le f(1) = 3$ : e soluție.
Deci $x \in (-\infty, 1]$ , cu $1$ inclus, pentru că inegalitatea este nestrictă.
Graficul lui $f$ este pe sau sub dreapta $y = 3$ exact pentru $x \le 1$ .

Răspuns

i) $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ .

ii) $x \in (-\infty, 1]$ .

Exercițiul 3 · Monotonia sumei a două funcții

a)Dați exemplu de sumă a două funcții numerice de aceeași monotonie pentru care funcția sumă este monotonă. Se poate generaliza acest rezultat pentru suma oricăror două funcții de aceeași monotonie?

1. Un exemplu ✓

2. Generalizarea ✓

3. Atenție la monotonii diferite ✓

b)Determinați monotonia funcțiilor: i) f ⁣:(0,∞)→Rf\colon (0, \infty) \to \mathbb Rf:(0,∞)→R, f(x)=1x−x2f(x) = \dfrac1x - x^2f(x)=x1​−x2; ii) f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=x3+x+1f(x) = x^3 + x + 1f(x)=x3+x+1.

1. i) Descompunem în două funcții simple ✓

2. i) Concluzia ✓

3. ii) Funcția x3+x+1x^3 + x + 1x3+x+1 ✓

c)Rezolvați în R\mathbb RR inecuațiile: i) 1−x2<01 - x^2 < 01−x2<0; ii) x3+x+1≤3x^3 + x + 1 \le 3x3+x+1≤3.

1. i) Rescriem inecuația ✓

2. i) Soluția ✓

3. ii) Folosim monotonia ✓

4. ii) Soluția ✓

1. Un exemplu

2. Generalizarea

3. Atenție la monotonii diferite

b)Determinați monotonia funcțiilor: i) $f\colon (0, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac1x - x^2$ ; ii) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^3 + x + 1$ .

1. i) Descompunem în două funcții simple

2. i) Concluzia

3. ii) Funcția $x^3 + x + 1$

c)Rezolvați în $\mathbb R$ inecuațiile: i) $1 - x^2 < 0$ ; ii) $x^3 + x + 1 \le 3$ .

1. i) Rescriem inecuația

2. i) Soluția

3. ii) Folosim monotonia

4. ii) Soluția