Manual · pagina 82

Exercițiul 4 · Monotonia produsului a două funcții

a) Demonstrează că produsul a două funcții numerice care iau valori pozitive și au aceeași monotonie este o funcție monotonă. Este valabilă proprietatea și în cazul în care funcțiile: i) iau valori negative; ii) au semne opuse?

b) Determină monotonia funcțiilor:

i) $f\colon (0, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = x(x^2 + 1)$ ;

ii) $f\colon \mathbb R_+ \to \mathbb R$ , $f(x) = [x](3x + 2)$ .

c) Rezolvă în $\mathbb R$ inecuațiile:

i) $x(x^2 + 1) > 3\sqrt2$ ;

ii) $[x](3x + 2) \le 9\pi + 6$ , $x \ge 1$ .

a)Demonstrează că produsul a două funcții numerice care iau valori pozitive și au aceeași monotonie este o funcție monotonă. Este valabilă proprietatea și în cazul în care funcțiile: i) iau valori negative; ii) au semne opuse?

Înmulțește cele două inegalități „pe rând”: întâi una cu o valoare a lui

g

, apoi cealaltă cu o valoare a lui

f

. Urmărește semnul numărului cu care înmulțești.

1. Funcții pozitive și crescătoare
Funcție crescătoare (manual, p. 70)
$f$ este crescătoare pe $D$ dacă, pentru orice $x_1, x_2 \in D$ , $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ .
Fie $f, g\colon D \to \mathbb R$ crescătoare, cu $f(x) > 0$ și $g(x) > 0$ pentru orice $x$ . Pentru $x_1 < x_2$ avem $0 < f(x_1) \le f(x_2)$ și $0 < g(x_1) \le g(x_2)$ . Comparăm produsele în doi pași:
$\begin{aligned} f(x_1)\,g(x_1) &\le f(x_2)\,g(x_1) \\ &\le f(x_2)\,g(x_2) \end{aligned}$
Primul pas: am înmulțit $f(x_1) \le f(x_2)$ cu $g(x_1)$ , care e pozitiv, deci sensul se păstrează. Al doilea pas: am înmulțit $g(x_1) \le g(x_2)$ cu $f(x_2)$ .
Verifică-te
De ce se păstrează sensul inegalității la al doilea pas?
2. Celelalte cazuri pozitive și cazul i)
Deci $(f \cdot g)(x_1) \le (f \cdot g)(x_2)$ : produsul este crescător. Dacă $f, g$ sunt pozitive și descrescătoare, aceleași înmulțiri, cu $\ge$ , arată că $f \cdot g$ este descrescătoare. Proprietatea este demonstrată.
i) Valori negative. Începem cu un exemplu: $f(x) = g(x) = x$ pe $(-\infty, 0)$ sunt crescătoare și iau valori negative.
Verifică-te
Ce monotonie are $(f \cdot g)(x) = x^2$ pe $(-\infty, 0)$ ?
În general, fie $f, g$ crescătoare, cu valori negative. Atunci $-f$ și $-g$ iau valori pozitive și sunt descrescătoare (înmulțirea cu $-1$ inversează monotonia, exercițiul 2). Cum $f \cdot g = (-f) \cdot (-g)$ , după cazul pozitiv produsul este descrescător. La fel, două funcții negative descrescătoare dau un produs crescător: produsul rămâne monoton, dar cu monotonia inversată.
3. ii) Semne opuse: un contraexemplu
Pe $(0, 2)$ luăm $f(x) = x$ , cu valori pozitive, și $g(x) = x - 2$ , cu valori negative. Ambele sunt strict crescătoare. Produsul este $h(x) = x(x - 2)$ . Avem $h(0{,}5) = -0{,}75$ și $h(1{,}5) = -0{,}75$ .
Verifică-te
Cât este $h(1) = 1 \cdot (1 - 2)$ ?
$f$ și $g$ urcă, dar produsul lor $h = f \cdot g$ coboară până în $x = 1$ , apoi urcă.
Deci $h$ nu este monotonă: pentru semne opuse proprietatea nu mai este valabilă în general. (Uneori produsul iese totuși monoton, de exemplu $x \cdot \left(-\frac1x\right) = -1$ pe $(0, \infty)$ , dar nu putem garanta asta.)

Răspuns

Pentru valori pozitive și $f, g$ crescătoare, $x_1 < x_2$ dă $\begin{aligned} f(x_1) g(x_1) &\le f(x_2) g(x_1) \\ &\le f(x_2) g(x_2), \end{aligned}$ deci produsul are aceeași monotonie ca factorii.

i) Da, produsul rămâne monoton, dar cu monotonia inversată.

ii) Nu, nu neapărat: $x$ și $x - 2$ sunt crescătoare pe $(0, 2)$ , dar $x(x - 2)$ nu e monotonă.

b)Determină monotonia funcțiilor: i) $f\colon (0, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = x(x^2 + 1)$ ; ii) $f\colon \mathbb R_+ \to \mathbb R$ , $f(x) = [x](3x + 2)$ .

Ambele funcții sunt produse de doi factori. Verifică semnul și monotonia fiecărui factor; la ii), atenție la

[x]

[0, 1)

1. i) Doi factori pozitivi, strict crescători
Pe $(0, \infty)$ , $f(x) = x \cdot (x^2 + 1)$ are factorii:
$x$ : pozitiv și strict crescător;
$x^2 + 1$ : pozitiv ( $\ge 1$ ) și strict crescător, pentru că $x^2$ este strict crescătoare pe $(0, \infty)$ .
După punctul a), produsul este crescător. Fiind ambii factori strict crescători, primul pas al lanțului $x_1(x_1^2 + 1) < x_2(x_1^2 + 1) < x_2(x_2^2 + 1)$ este strict, deci $f$ este strict crescătoare.
2. ii) Factorii lui $[x](3x + 2)$
Partea întreagă (din gimnaziu)
$[x]$ este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu $x$ . Pe fiecare interval $[k, k + 1)$ , cu $k$ întreg, $[x] = k$ .
Domeniul este $\mathbb R_+ = [0, \infty)$ . Factorul $3x + 2$ este pozitiv și strict crescător. Factorul $[x]$ este crescător ( $x_1 < x_2 \Rightarrow [x_1] \le [x_2]$ ) și nenegativ.
Verifică-te
Este $f$ strict crescătoare pe $\mathbb R_+$ ?
3. ii) Totuși, $f$ este crescătoare
Fie $0 \le x_1 < x_2$ . Avem $[x_1] \le [x_2]$ și $0 < 3x_1 + 2 < 3x_2 + 2$ . Înmulțim pe rând, ca la a), cu numere nenegative:
$\begin{aligned} [x_1](3x_1 + 2) &\le [x_2](3x_1 + 2) \\ &\le [x_2](3x_2 + 2) \end{aligned}$
Primul pas: înmulțire cu $3x_1 + 2 > 0$ . Al doilea: înmulțire cu $[x_2] \ge 0$ . Deci $f(x_1) \le f(x_2)$ : $f$ este crescătoare pe $\mathbb R_+$ (dar nu strict). Pe $[1, \infty)$ avem $[x_2] \ge 1 > 0$ , al doilea pas devine strict, iar $f$ este strict crescătoare.
$x$ $0$ $0{,}5$ $1$ $1{,}5$ $2$
$f(x)$ $0$ $0$ $5$ $6{,}5$ $16$
$f(x) = [x](3x + 2)$ : $0$ pe $[0, 1)$ , apoi bucăți care urcă, cu salturi în sus în $1$ și $2$ .

$x$	$0$	$0{,}5$	$1$	$1{,}5$	$2$
$f(x)$	$0$	$0$	$5$	$6{,}5$	$16$

Răspuns

i) $f(x) = x(x^2 + 1)$ este strict crescătoare pe $(0, \infty)$ .

ii) $f(x) = [x](3x + 2)$ este crescătoare pe $\mathbb R_+$ , dar nu strict: este constantă ( $0$ ) pe $[0, 1)$ și strict crescătoare pe $[1, \infty)$ .

c)Rezolvă în $\mathbb R$ inecuațiile: i) $x(x^2 + 1) > 3\sqrt2$ ; ii) $[x](3x + 2) \le 9\pi + 6$ , $x \ge 1$ .

Membrii stângi sunt funcțiile de la b). Încearcă să scrii membrul drept ca o valoare a funcției,

f(x_0)

, apoi folosește monotonia.

1. i) Mai întâi $x \le 0$
Fie $f(x) = x(x^2 + 1)$ , pe tot $\mathbb R$ . Dacă $x \le 0$ , atunci $x \le 0$ și $x^2 + 1 > 0$ , deci $f(x) \le 0 < 3\sqrt2$ : niciun $x \le 0$ nu este soluție.
Pentru $x > 0$ , $f$ este strict crescătoare (punctul b) i). Căutăm un $x_0 > 0$ cu $f(x_0) = 3\sqrt2$ .
Verifică-te
Care număr verifică $x_0(x_0^2 + 1) = 3\sqrt2$ ?
2. i) Soluția
Inecuația devine $f(x) > f(\sqrt2)$ . Pentru $x > 0$ , $f$ strict crescătoare dă $f(x) > f(\sqrt2) \iff x > \sqrt2$ . Capătul $\sqrt2$ nu e soluție: acolo avem egalitate, iar inegalitatea cerută este strictă.
$x \in \left(\sqrt2,\ \infty\right)$
3. ii) Unde ia $[x](3x + 2)$ valoarea $9\pi + 6$
Fie $f(x) = [x](3x + 2)$ pe $[1, \infty)$ . La b) ii) am văzut că $f$ este strict crescătoare pe $[1, \infty)$ . Scriem membrul drept ca produs: $9\pi + 6 = 3(3\pi + 2)$ .
Verifică-te
Pentru ce $x_0$ avem $f(x_0) = 3(3\pi + 2)$ ?
4. ii) Soluția
Inecuația devine $f(x) \le f(\pi)$ , cu $x \ge 1$ . Cum $f$ este strict crescătoare pe $[1, \infty)$ , $f(x) \le f(\pi) \iff x \le \pi$ . Împreună cu condiția $x \ge 1$ :
$x \in [1,\ \pi]$
Verificare
$f(1) = 1 \cdot 5 = 5 \le 9\pi + 6$ , iar pentru $x = 3{,}2 > \pi$ : $f(3{,}2) = 3 \cdot 11{,}6 = 34{,}8$ , mai mare decât $9\pi + 6 \approx 34{,}27$ .

Răspuns

i) $x \in \left(\sqrt2, \infty\right)$ .

ii) $x \in [1, \pi]$ .

Exercițiul 4 · Monotonia produsului a două funcții

a)Demonstrează că produsul a două funcții numerice care iau valori pozitive și au aceeași monotonie este o funcție monotonă. Este valabilă proprietatea și în cazul în care funcțiile: i) iau valori negative; ii) au semne opuse?

1. Funcții pozitive și crescătoare ✓

2. Celelalte cazuri pozitive și cazul i) ✓

3. ii) Semne opuse: un contraexemplu ✓

b)Determină monotonia funcțiilor: i) f ⁣:(0,∞)→Rf\colon (0, \infty) \to \mathbb Rf:(0,∞)→R, f(x)=x(x2+1)f(x) = x(x^2 + 1)f(x)=x(x2+1); ii) f ⁣:R+→Rf\colon \mathbb R_+ \to \mathbb Rf:R+​→R, f(x)=[x](3x+2)f(x) = [x](3x + 2)f(x)=[x](3x+2).

1. i) Doi factori pozitivi, strict crescători ✓

2. ii) Factorii lui [x](3x+2)[x](3x + 2)[x](3x+2) ✓

3. ii) Totuși, fff este crescătoare ✓

c)Rezolvă în R\mathbb RR inecuațiile: i) x(x2+1)>32x(x^2 + 1) > 3\sqrt2x(x2+1)>32​; ii) [x](3x+2)≤9π+6[x](3x + 2) \le 9\pi + 6[x](3x+2)≤9π+6, x≥1x \ge 1x≥1.

1. i) Mai întâi x≤0x \le 0x≤0 ✓

2. i) Soluția ✓

3. ii) Unde ia [x](3x+2)[x](3x + 2)[x](3x+2) valoarea 9π+69\pi + 69π+6 ✓

4. ii) Soluția ✓

1. Funcții pozitive și crescătoare

2. Celelalte cazuri pozitive și cazul i)

3. ii) Semne opuse: un contraexemplu

b)Determină monotonia funcțiilor: i) $f\colon (0, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = x(x^2 + 1)$ ; ii) $f\colon \mathbb R_+ \to \mathbb R$ , $f(x) = [x](3x + 2)$ .

1. i) Doi factori pozitivi, strict crescători

2. ii) Factorii lui $[x](3x + 2)$

3. ii) Totuși, $f$ este crescătoare

c)Rezolvă în $\mathbb R$ inecuațiile: i) $x(x^2 + 1) > 3\sqrt2$ ; ii) $[x](3x + 2) \le 9\pi + 6$ , $x \ge 1$ .

1. i) Mai întâi $x \le 0$

2. i) Soluția

3. ii) Unde ia $[x](3x + 2)$ valoarea $9\pi + 6$

4. ii) Soluția