MateClar
← Capitol

Manual · pagina 82

Exercițiul 5 · Operații cu funcții mărginite

(Activitate pe grupe)

a) Justificați faptul că produsul dintre o funcție numerică mărginită și un scalar a∈Ra \in \mathbb R este o funcție mărginită.

b) Justificați că suma și produsul a două funcții numerice mărginite este o funcție mărginită.

c) Demonstrați că următoarele funcții sunt mărginite:

i) f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=1x2+1{x}f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\{x\};

ii) f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x3+x+1}+2xx2+1f(x) = \{x^3 + x + 1\} + \dfrac{2x}{x^2 + 1},

unde notația {x}\{x\} reprezintă partea fracționară a unui număr real xx.

a)Justificați faptul că produsul dintre o funcție numerică mărginită și un scalar a∈Ra \in \mathbb R este o funcție mărginită.

Scrie ce înseamnă că ff este mărginită, cu două numere mm și MM, apoi înmulțește inegalitățile cu aa. Separă cazurile a≥0a \ge 0 și a<0a < 0.

  1. 1. Definiția și cazul a≥0a \ge 0

    Fie ff mărginită, deci m≤f(x)≤Mm \le f(x) \le M pentru orice x∈Dx \in D, și (af)(x)=a⋅f(x)(a f)(x) = a \cdot f(x) (manual, p. 79). Dacă a≥0a \ge 0, înmulțirea cu aa păstrează sensul inegalităților:
    am≤af(x)≤aM,∀x∈Da m \le a f(x) \le a M, \quad \forall x \in D
    Deci afa f este mărginită, cu marginile ama m și aMa M. (Pentru a=0a = 0 se obține funcția constantă 00, mărginită și ea.)

  2. 2. Cazul a<0a < 0

    Verifică-te

    Dacă a<0a < 0, ce obții înmulțind m≤f(x)≤Mm \le f(x) \le M cu aa?
    Și în acest caz afa f este mărginită: inferior de aMa M și superior de ama m.
    Exemplu: f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} are 0<f(x)≤10 < f(x) \le 1. Cu a=−3a = -3: −3≤−3f(x)<0-3 \le -3f(x) < 0.
    −4−3−2−11234−4−3−2−112Oxy
    ff
    −3f-3f
    y=1y = 1
    y=−3y = -3

    ff stă în banda dintre y=0y = 0 și y=1y = 1, iar −3f-3f în banda, întoarsă, dintre y=−3y = -3 și y=0y = 0.

Răspuns
Din m≤f(x)≤Mm \le f(x) \le M: pentru a≥0a \ge 0, am≤af(x)≤aMa m \le a f(x) \le a M; pentru a<0a < 0, aM≤af(x)≤ama M \le a f(x) \le a m. În ambele cazuri afa f este mărginită.

b)Justificați că suma și produsul a două funcții numerice mărginite este o funcție mărginită.

La sumă, adună inegalitățile. La produs, semnele încurcă lucrurile: mărginește întâi modulul fiecărei funcții.

  1. 1. Suma

    Fie f,g ⁣:D→Rf, g\colon D \to \mathbb R mărginite: m1≤f(x)≤M1m_1 \le f(x) \le M_1 și m2≤g(x)≤M2m_2 \le g(x) \le M_2, pentru orice x∈Dx \in D. Inegalitățile de același sens se adună:
    m1+m2≤(f+g)(x)≤M1+M2\begin{aligned} m_1 + m_2 &\le (f + g)(x) \\ &\le M_1 + M_2 \end{aligned}
    Deci f+gf + g este mărginită.

  2. 2. Produsul nu merge la fel

    Am fi tentați să înmulțim inegalitățile și să spunem m1m2≤f(x)g(x)≤M1M2m_1 m_2 \le f(x) g(x) \le M_1 M_2. Să vedem un caz concret: f(x)f(x) și g(x)g(x) iau valori în [−2,1][-2, 1], deci m1=m2=−2m_1 = m_2 = -2 și m1m2=4m_1 m_2 = 4.

    Verifică-te

    Este 44 o margine inferioară pentru f⋅gf \cdot g?

  3. 3. Mărginim modulul

    Din m1≤f(x)≤M1m_1 \le f(x) \le M_1 rezultă ∣f(x)∣≤K1|f(x)| \le K_1, unde K1K_1 este cel mai mare dintre ∣m1∣|m_1| și ∣M1∣|M_1|: valorile lui ff stau între −K1-K_1 și K1K_1.

    Verifică-te

    Dacă −2≤f(x)≤1-2 \le f(x) \le 1, ce număr KK poți lua ca să ai ∣f(x)∣≤K|f(x)| \le K?
    La fel, ∣g(x)∣≤K2|g(x)| \le K_2. Modulul unui produs este produsul modulelor (din gimnaziu):
    ∣f(x)g(x)∣=∣f(x)∣⋅∣g(x)∣≤K1K2,\begin{aligned} |f(x) g(x)| &= |f(x)| \cdot |g(x)| \\ &\le K_1 K_2, \end{aligned}
    deci −K1K2≤(f⋅g)(x)≤K1K2-K_1 K_2 \le (f \cdot g)(x) \le K_1 K_2: f⋅gf \cdot g este mărginită.
Răspuns

Suma: m1+m2≤(f+g)(x)≤M1+M2m_1 + m_2 \le (f + g)(x) \le M_1 + M_2.

Produsul: cu ∣f(x)∣≤K1|f(x)| \le K_1 și ∣g(x)∣≤K2|g(x)| \le K_2, avem ∣f(x)g(x)∣≤K1K2|f(x) g(x)| \le K_1 K_2, deci −K1K2≤(f⋅g)(x)≤K1K2-K_1 K_2 \le (f \cdot g)(x) \le K_1 K_2.

c)Demonstrați că sunt mărginite: i) f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=1x2+1{x}f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\{x\}; ii) f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x3+x+1}+2xx2+1f(x) = \{x^3 + x + 1\} + \dfrac{2x}{x^2 + 1}.

Mărginește separat fiecare bucată. Partea fracționară stă mereu în [0,1)[0, 1). Pentru 2xx2+1\frac{2x}{x^2 + 1}, pornește de la (x−1)2≥0(x - 1)^2 \ge 0 și (x+1)2≥0(x + 1)^2 \ge 0.

  1. 1. i) Cei doi factori

    Al doilea factor, {x}\{x\}, este în [0,1)[0, 1). Pentru primul, 1x2+1\frac{1}{x^2 + 1}, pornim de la x2≥0x^2 \ge 0, deci x2+1≥1x^2 + 1 \ge 1.

    Verifică-te

    Între ce valori se află 1x2+1\dfrac{1}{x^2 + 1}?

  2. 2. i) Produsul

    Ambii factori sunt nenegativi, iar 1x2+1≤1\frac{1}{x^2 + 1} \le 1. Deci
    0≤f(x)={x}x2+1≤{x}<10 \le f(x) = \frac{\{x\}}{x^2 + 1} \le \{x\} < 1
    Pentru orice xx, f(x)∈[0,1)f(x) \in [0, 1): ff este mărginită.
    −3−2−1123−0,50,511,5Oxy
    ff
    y=1y = 1

    Graficul lui ff stă între axa OxOx și dreapta y=1y = 1, fără să o atingă.

  3. 3. ii) Fracția 2xx2+1\frac{2x}{x^2 + 1}

    Primul termen, {x3+x+1}\{x^3 + x + 1\}, este o parte fracționară, deci în [0,1)[0, 1). Pentru fracție folosim pătrate perfecte (din gimnaziu). Din (x−1)2≥0(x - 1)^2 \ge 0 avem x2+1≥2xx^2 + 1 \ge 2x; împărțim la x2+1>0x^2 + 1 > 0:
    2xx2+1≤1\frac{2x}{x^2 + 1} \le 1

    Verifică-te

    Ce obții la fel din (x+1)2≥0(x + 1)^2 \ge 0, adică x2+1≥−2xx^2 + 1 \ge -2x?
    −5−4−3−2−112345−2−112Oxy
    (1,1)(1, 1)
    (−1,−1)(-1, -1)

    Fracția 2xx2+1\frac{2x}{x^2 + 1} stă între −1-1 și 11 și atinge ambele margini.

  4. 4. ii) Suma

    Adunăm 0≤{x3+x+1}<10 \le \{x^3 + x + 1\} < 1 și −1≤2xx2+1≤1-1 \le \frac{2x}{x^2 + 1} \le 1 (o sumă de funcții mărginite, ca la b):
    −1≤f(x)<2,∀x∈R-1 \le f(x) < 2, \quad \forall x \in \mathbb R
    Deci ff este mărginită. Marginea −1-1 chiar este atinsă: f(−1)={−1}+−22=0−1=−1f(-1) = \{-1\} + \frac{-2}{2} = 0 - 1 = -1.
Răspuns

i) 0≤f(x)<10 \le f(x) < 1 pentru orice xx, deci ff este mărginită.

ii) −1≤f(x)<2-1 \le f(x) < 2 pentru orice xx, deci ff este mărginită.