Manual · pagina 83

Exercițiul 6 · Compunerea în ambele ordini

(Activitate în pereche) Individual, determinați $g \circ f$ și $f \circ g$ pentru funcțiile $f, g\colon \mathbb R \to \mathbb R$ următoare, apoi comparați și stabiliți dacă există cazuri particulare de comutativitate:

a) $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = x + 2$ ;

b) $f(x) = -x + 3$ , $g(x) = -x + 3$ ;

c) $f(x) = x^2 + 3$ , $g(x) = x + 1$ ;

d) $f(x) = [x]$ , $g(x) = \{x\}$ ;

e) $f(x) = 2x + 1$ , $g(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 0 \\ 2x - 5, & x \ge 0 \end{cases}$ ;

f) $f(x) = \frac{2x - 1}{3}$ , $g(x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{2}, & x < 1 \\[2pt] \frac{2x - 5}{7}, & x \ge 1 \end{cases}$ .

a) $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = x + 2$ .

g \circ f

aplici întâi

f

, apoi

g

: în legea lui

g

pui

f(x)

în locul lui

x

1. Compunerea $g \circ f$
Compunerea funcțiilor (manual, p. 80)
Pentru $f\colon A \to B$ și $g\colon B \to C$ , compusa lui $g$ cu $f$ este $g \circ f\colon A \to C$ , $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Se aplică întâi $f$ , apoi $g$ rezultatului.
$g$ adună $2$ la orice primește. Primind $f(x) = 2x + 3$ :
$(g \circ f)(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) + 2$
Verifică-te
Cât este $(g \circ f)(x)$ ?
$g \circ f$ : întâi $f$ (dublează și adună $3$ ), apoi $g$ (adună $2$ ).
2. Compunerea $f \circ g$
Acum ordinea se schimbă: întâi $g$ , apoi $f$ . $f$ dublează ce primește și adună $3$ :
$(f \circ g)(x) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 3$
Verifică-te
Cât este $(f \circ g)(x)$ ?
$f \circ g$ : același $x$ ajunge în alt loc decât prin $g \circ f$ .
3. Comparăm
Pentru orice $x$ :
$\begin{aligned} &(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) \\ &\quad = (2x + 7) - (2x + 5) \\ &\quad = 2 \ne 0 \end{aligned}$
Cele două compuneri nu au aceeași valoare în niciun punct, deci $g \circ f \ne f \circ g$ : funcțiile nu comută.
Compunerea nu este comutativă (manual, p. 81)
Ca să arăți că $g \circ f \ne f \circ g$ , ajunge un singur $x$ cu valori diferite, de exemplu $x = 0$ : $5 \ne 7$ .

Răspuns

(g \circ f)(x) = 2x + 5

(f \circ g)(x) = 2x + 7

, deci

g \circ f \ne f \circ g

(nu comută).

b) $f(x) = -x + 3$ , $g(x) = -x + 3$ .

Aici

f

și

g

au aceeași lege. Pune

-x + 3

în locul lui

x

și atenție la minusul din față.

1. Compunerea $g \circ f$
Compunerea funcțiilor (manual, p. 80)
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : se aplică întâi $f$ , apoi $g$ .
$(g \circ f)(x) = g(-x + 3) = -(-x + 3) + 3$
Verifică-te
Cât este $-(-x + 3) + 3$ ?
2. Compunerea $f \circ g$ și comparația
Cum $f$ și $g$ sunt aceeași funcție, $f \circ g = f \circ f = g \circ f$ . Deci $(f \circ g)(x) = x$ , la fel ca $(g \circ f)(x)$ : cele două compuneri sunt egale, iar funcțiile comută.
Aplicată de două ori, $f(x) = -x + 3$ aduce fiecare număr înapoi de unde a plecat.
Funcția identică (manual, p. 81)
Am obținut $f \circ f = 1_{\mathbb R}$ , funcția identică, $1_{\mathbb R}(x) = x$ . Geometric, $f$ este simetria față de punctul $\frac32$ : $x$ și $3 - x$ sunt la aceeași distanță de $\frac32$ .

Răspuns

(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x) = x

, deci

g \circ f = f \circ g = 1_{\mathbb R}

: funcțiile comută (un caz particular, pentru că

f = g

c) $f(x) = x^2 + 3$ , $g(x) = x + 1$ .

f \circ g

ridici la pătrat toată expresia

x + 1

: folosește formula pătratului unei sume.

1. Compunerea $g \circ f$
Compunerea funcțiilor (manual, p. 80)
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : se aplică întâi $f$ , apoi $g$ .
$g$ adună $1$ la ce primește:
$(g \circ f)(x) = g(x^2 + 3) = x^2 + 3 + 1 = x^2 + 4$
2. Compunerea $f \circ g$
$f$ ridică la pătrat ce primește și adună $3$ . Primind $x + 1$ :
$(f \circ g)(x) = f(x + 1) = (x + 1)^2 + 3$
Verifică-te
Cât este $(x + 1)^2 + 3$ , desfăcut?
3. Comparăm
Diferența este $(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 2x$ .
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $x$ au cele două compuneri aceeași valoare?
Două funcții sunt egale doar dacă au aceeași valoare în fiecare punct. Coincidența din $x = 0$ nu ajunge: $g \circ f \ne f \circ g$ , funcțiile nu comută.

Răspuns

(g \circ f)(x) = x^2 + 4

(f \circ g)(x) = x^2 + 2x + 4

. Ele coincid doar în

x = 0

, deci

g \circ f \ne f \circ g

(nu comută).

d) $f(x) = [x]$ , $g(x) = \{x\}$ .

Ce parte fracționară are un număr întreg? Ce parte întreagă are un număr din

[0, 1)

1. Compunerea $g \circ f = \{[x]\}$
Partea întreagă și partea fracționară (din gimnaziu)
$[x]$ este cel mai mare întreg $\le x$ , iar $\{x\} = x - [x] \in [0, 1)$ . De exemplu, $[2{,}7] = 2$ , $\{2{,}7\} = 0{,}7$ ; $[-1{,}3] = -2$ , $\{-1{,}3\} = 0{,}7$ .
$(g \circ f)(x) = g([x]) = \{[x]\}$ : luăm întâi partea întreagă, apoi partea fracționară a rezultatului.
Verifică-te
Cât este $(g \circ f)(2{,}7) = \{[2{,}7]\}$ ?
În general, $[x]$ este întreg, iar pentru orice întreg $k$ , $\{k\} = k - k = 0$ . Deci $(g \circ f)(x) = 0$ pentru orice $x$ .
2. Compunerea $f \circ g = [\{x\}]$
$(f \circ g)(x) = f(\{x\}) = [\{x\}]$ : acum luăm întâi partea fracționară, apoi partea întreagă.
Verifică-te
Cât este $(f \circ g)(-1{,}3) = [\{-1{,}3\}]$ ?
În general, $0 \le \{x\} < 1$ , iar orice număr din $[0, 1)$ are partea întreagă $0$ . Deci $(f \circ g)(x) = 0$ pentru orice $x$ .
$x$ $[x]$ $\{[x]\}$ $\{x\}$ $[\{x\}]$
$2{,}7$ $2$ $0$ $0{,}7$ $0$
$-1{,}3$ $-2$ $0$ $0{,}7$ $0$
$5$ $5$ $0$ $0$ $0$
3. Comparăm
Ambele compuneri sunt funcția constantă $0$ , deci $g \circ f = f \circ g$ : un caz particular în care funcțiile comută, deși $f \ne g$ .

$x$	$[x]$	$\{[x]\}$	$\{x\}$	$[\{x\}]$
$2{,}7$	$2$	$0$	$0{,}7$	$0$
$-1{,}3$	$-2$	$0$	$0{,}7$	$0$
$5$	$5$	$0$	$0$	$0$

Răspuns

(g \circ f)(x) = \{[x]\} = 0

și

(f \circ g)(x) = [\{x\}] = 0

, pentru orice

x

. Deci

g \circ f = f \circ g

: funcțiile comută.

e) $f(x) = 2x + 1$ , $g(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 0 \\ 2x - 5, & x \ge 0 \end{cases}$ .

În

g(f(x))

, ramura lui

g

se alege după semnul lui

f(x)

, nu al lui

x

. Rezolvă întâi

f(x) < 0

1. Ramurile lui $g \circ f$
Compunerea cu o funcție pe ramuri (manual, p. 81, problema rezolvată 1)
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Ca să știm ce ramură a lui $g$ folosim, ne uităm la numărul pe care îl primește $g$ , adică la $f(x)$ : ramura întâi dacă $f(x) < 0$ , a doua dacă $f(x) \ge 0$ .
Verifică-te
Pentru ce $x$ avem $f(x) = 2x + 1 < 0$ ?
2. Legea lui $g \circ f$
Pentru $x < -\frac12$ : $g(f(x)) = f(x) - 1$ , adică $2x + 1 - 1 = 2x$ . Pentru $x \ge -\frac12$ folosim a doua ramură, $g(t) = 2t - 5$ , cu $t = 2x + 1$ .
Verifică-te
Cât este $2(2x + 1) - 5$ ?
$(g \circ f)(x) = \begin{cases} 2x, & x < -\frac12 \\[2pt] 4x - 3, & x \ge -\frac12 \end{cases}$
$g \circ f$ are un salt în $x = -\frac12$ : din stânga se apropie de $-1$ , iar valoarea este $(g \circ f)\left(-\frac12\right) = -5$ .
3. Legea lui $f \circ g$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 1$ . Funcția $f$ are o singură lege, deci ramurile rămân cele ale lui $g$ , după semnul lui $x$ . Pentru $x \ge 0$ : $2(2x - 5) + 1 = 4x - 9$ .
Verifică-te
Cât este $(f \circ g)(x)$ pentru $x < 0$ , adică $2(x - 1) + 1$ ?
$(f \circ g)(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x < 0 \\ 4x - 9, & x \ge 0 \end{cases}$
4. Comparăm
Ajunge un punct cu valori diferite. În $x = 0$ : $(g \circ f)(0) = 4 \cdot 0 - 3 = -3$ , dar $(f \circ g)(0) = 4 \cdot 0 - 9 = -9$ . Deci $g \circ f \ne f \circ g$ : funcțiile nu comută.
Verificare directă
$f(0) = 1$ , $g(1) = 2 - 5 = -3$ . $g(0) = -5$ , $f(-5) = -10 + 1 = -9$ .

Răspuns

\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= \begin{cases} 2x, & x < -\frac12 \\ 4x - 3, & x \ge -\frac12 \end{cases} \\[4pt] (f \circ g)(x) &= \begin{cases} 2x - 1, & x < 0 \\ 4x - 9, & x \ge 0 \end{cases} \end{aligned}

Nu comută: de exemplu,

(g \circ f)(0) = -3

, dar

(f \circ g)(0) = -9

f) $f(x) = \dfrac{2x - 1}{3}$ , $g(x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{2}, & x < 1 \\[2pt] \frac{2x - 5}{7}, & x \ge 1 \end{cases}$ .

Ca la e): pentru

g \circ f

alegi ramura lui

g

după

f(x) < 1

f(x) \ge 1

. Lucrează cu fracții etajate pas cu pas.

1. Ramurile lui $g \circ f$
Compunerea cu o funcție pe ramuri (manual, p. 81)
În $g(f(x))$ , ramura lui $g$ se alege după valoarea $f(x)$ , numărul pe care îl primește $g$ .
Granița lui $g$ este $1$ . Rezolvăm $f(x) < 1$ : $\frac{2x - 1}{3} < 1 \iff 2x - 1 < 3$ , adică $x < 2$ . Deci prima ramură a lui $g$ se folosește pentru $x < 2$ , a doua pentru $x \ge 2$ .
Pentru $x < 2$ :
$(g \circ f)(x) = \frac{f(x) + 1}{2} = \frac{\frac{2x - 1}{3} + 1}{2}$
Verifică-te
Ce obții după simplificare?
2. A doua ramură a lui $g \circ f$
Pentru $x \ge 2$ , cu $g(t) = \frac{2t - 5}{7}$ :
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= \frac{2 \cdot \frac{2x - 1}{3} - 5}{7} \\[4pt] &= \frac{\frac{4x - 2 - 15}{3}}{7} \\[4pt] &= \frac{4x - 17}{21} \end{aligned}$
$(g \circ f)(x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{3}, & x < 2 \\[2pt] \frac{4x - 17}{21}, & x \ge 2 \end{cases}$
3. Legea lui $f \circ g$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \frac{2g(x) - 1}{3}$ . Funcția $f$ are o singură lege, deci ramurile sunt cele ale lui $g$ , după $x < 1$ sau $x \ge 1$ . Începem cu punctul de pe graniță, $x = 1$ .
Verifică-te
Cât este $(f \circ g)(1)$ ?
În general, pe cele două ramuri:
$\begin{aligned} x < 1&: \ \frac{2 \cdot \frac{x + 1}{2} - 1}{3} \\[4pt] &\phantom{: \ } = \frac{x + 1 - 1}{3} = \frac x3 \\[8pt] x \ge 1&: \ \frac{2 \cdot \frac{2x - 5}{7} - 1}{3} \\[4pt] &\phantom{: \ } = \frac{\frac{4x - 17}{7}}{3} = \frac{4x - 17}{21} \end{aligned}$
$(f \circ g)(x) = \begin{cases} \frac x3, & x < 1 \\[2pt] \frac{4x - 17}{21}, & x \ge 1 \end{cases}$
4. Comparăm
$x$ $(g \circ f)(x)$ $(f \circ g)(x)$
$0$ $\frac13$ $0$
$1$ $\frac23$ $-\frac{13}{21}$
$3$ $-\frac{5}{21}$ $-\frac{5}{21}$
Pentru $x \ge 2$ ambele compuneri dau $\frac{4x - 17}{21}$ , dar pentru $x < 2$ ele diferă (de exemplu în $x = 0$ : $\frac13 \ne 0$ ). Deci $g \circ f \ne f \circ g$ : funcțiile nu comută.
Concluzia exercițiului
Din cele șase perechi, comută doar b) ( $f = g$ ) și d) (ambele compuneri sunt $0$ ). Compunerea funcțiilor nu este comutativă în general, dar există cazuri particulare în care două funcții comută.

$x$	$(g \circ f)(x)$	$(f \circ g)(x)$
$0$	$\frac13$	$0$
$1$	$\frac23$	$-\frac{13}{21}$
$3$	$-\frac{5}{21}$	$-\frac{5}{21}$

Răspuns

\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= \begin{cases} \frac{x + 1}{3}, & x < 2 \\ \frac{4x - 17}{21}, & x \ge 2 \end{cases} \\[4pt] (f \circ g)(x) &= \begin{cases} \frac x3, & x < 1 \\ \frac{4x - 17}{21}, & x \ge 1 \end{cases} \end{aligned}

Nu comută:

(g \circ f)(0) = \frac13 \ne 0 = (f \circ g)(0)

Exercițiul 6 · Compunerea în ambele ordini

a)f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3, g(x)=x+2g(x) = x + 2g(x)=x+2.

1. Compunerea g∘fg \circ fg∘f ✓

2. Compunerea f∘gf \circ gf∘g ✓

3. Comparăm ✓

b)f(x)=−x+3f(x) = -x + 3f(x)=−x+3, g(x)=−x+3g(x) = -x + 3g(x)=−x+3.

1. Compunerea g∘fg \circ fg∘f ✓

2. Compunerea f∘gf \circ gf∘g și comparația ✓

c)f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3f(x)=x2+3, g(x)=x+1g(x) = x + 1g(x)=x+1.

1. Compunerea g∘fg \circ fg∘f ✓

2. Compunerea f∘gf \circ gf∘g ✓

3. Comparăm ✓

d)f(x)=[x]f(x) = [x]f(x)=[x], g(x)={x}g(x) = \{x\}g(x)={x}.

1. Compunerea g∘f={[x]}g \circ f = \{[x]\}g∘f={[x]} ✓

2. Compunerea f∘g=[{x}]f \circ g = [\{x\}]f∘g=[{x}] ✓

3. Comparăm ✓

e)f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1, g(x)={x−1,x<02x−5,x≥0g(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 0 \\ 2x - 5, & x \ge 0 \end{cases}g(x)={x−1,2x−5,​x<0x≥0​.

1. Ramurile lui g∘fg \circ fg∘f ✓

2. Legea lui g∘fg \circ fg∘f ✓

3. Legea lui f∘gf \circ gf∘g ✓

4. Comparăm ✓

f)f(x)=2x−13f(x) = \dfrac{2x - 1}{3}f(x)=32x−1​, g(x)={x+12,x<12x−57,x≥1g(x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{2}, & x < 1 \\[2pt] \frac{2x - 5}{7}, & x \ge 1 \end{cases}g(x)={2x+1​,72x−5​,​x<1x≥1​.

1. Ramurile lui g∘fg \circ fg∘f ✓

2. A doua ramură a lui g∘fg \circ fg∘f ✓

3. Legea lui f∘gf \circ gf∘g ✓

4. Comparăm ✓

a) $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = x + 2$ .

1. Compunerea $g \circ f$

2. Compunerea $f \circ g$

3. Comparăm

b) $f(x) = -x + 3$ , $g(x) = -x + 3$ .

1. Compunerea $g \circ f$

2. Compunerea $f \circ g$ și comparația

c) $f(x) = x^2 + 3$ , $g(x) = x + 1$ .

1. Compunerea $g \circ f$

2. Compunerea $f \circ g$

3. Comparăm

d) $f(x) = [x]$ , $g(x) = \{x\}$ .

1. Compunerea $g \circ f = \{[x]\}$

2. Compunerea $f \circ g = [\{x\}]$

3. Comparăm

e) $f(x) = 2x + 1$ , $g(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 0 \\ 2x - 5, & x \ge 0 \end{cases}$ .

1. Ramurile lui $g \circ f$

2. Legea lui $g \circ f$

3. Legea lui $f \circ g$

4. Comparăm

f) $f(x) = \dfrac{2x - 1}{3}$ , $g(x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{2}, & x < 1 \\[2pt] \frac{2x - 5}{7}, & x \ge 1 \end{cases}$ .

1. Ramurile lui $g \circ f$

2. A doua ramură a lui $g \circ f$

3. Legea lui $f \circ g$

4. Comparăm