Manual · pagina 83

Exercițiul 8 · $g \circ f$ și $f \circ g$

(Activitate în pereche) Determinați $g \circ f$ și $f \circ g$ pentru funcțiile $f : A \to B$ și $g : B \to A$ următoare:

a) $f(x) = x^2 + 1$ , $g(x) = \sqrt{x - 1}$ , $A = [0, \infty)$ , $B = [1, \infty)$ ;

b) $f(x) = -2x + 3$ , $g(x) = \dfrac{x + 3}{2}$ , $A = B = \mathbb R$ ;

c) $f(x) = x^2 + 3x + 3$ , $g(x) = \dfrac{-3 + \sqrt{4x - 3}}{2}$ , $A = \left[-\dfrac32, \infty\right)$ , $B = \left[\dfrac34, \infty\right)$ .

a) $f(x) = x^2 + 1$ , $g(x) = \sqrt{x - 1}$ , $A = [0, \infty)$ , $B = [1, \infty)$ .

În

g(f(x))

, pune expresia lui

f(x)

în locul lui

x

din formula lui

g

. Când apare

\sqrt{x^2}

, gândește-te ce semn are

x

pe mulțimea

A

1. Ce înseamnă $g \circ f$ și pe ce mulțime e definită
Compunerea funcțiilor (manual, p. 80)
Pentru $f : A \to B$ și $g : B \to C$ , funcția $g \circ f : A \to C$ , $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ , se numește compusa lui $g$ cu $f$ .
Se aplică întâi $f$ , apoi $g$ rezultatului: se citește de la dreapta la stânga.
Aici $f$ duce $A$ în $B$ , iar $g$ duce $B$ înapoi în $A$ . Pentru $g \circ f$ pornim din $A$ , aplicăm $f$ (ajungem în $B$ ), apoi $g$ (ne întoarcem în $A$ ): $g \circ f : A \to A$ .
Verifică-te
Pe ce mulțime este definită $f \circ g$ (din ce mulțime pornește $x$ )?
2. Calculăm $g \circ f$
În formula lui $g$ înlocuim $x$ cu $f(x) = x^2 + 1$ :
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= g(x^2 + 1) \\ &= \sqrt{x^2 + 1 - 1} \\ &= \sqrt{x^2} \end{aligned}$
Radicalul unui pătrat (din gimnaziu)
$\sqrt{x^2} = |x|$ pentru orice $x$ real; de exemplu $\sqrt{(-3)^2} = 3$ .
Verifică-te
Cât este $(g \circ f)(x) = \sqrt{x^2}$ pentru $x \in A = [0, \infty)$ ?
3. Calculăm $f \circ g$
Acum în formula lui $f$ înlocuim $x$ cu $g(x) = \sqrt{x - 1}$ , pentru $x \in B$ , adică $x \ge 1$ :
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f\left(\sqrt{x - 1}\right) \\ &= \left(\sqrt{x - 1}\right)^2 + 1 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $(f \circ g)(x)$ , pentru $x \ge 1$ ?
4. Verificare pe numere
Urmărim câteva numere prin cele două funcții. De exemplu $f(2) = 5$ și $g(5) = \sqrt{4} = 2$ : ne-am întors de unde am plecat.
$g$ anulează efectul lui $f$ : fiecare număr din $A$ se întoarce în el însuși.
Funcția identică (manual, p. 81)
$1_A : A \to A$ , $1_A(x) = x$ pentru orice $x \in A$ . Am obținut ${g \circ f = 1_A}$ și ${f \circ g = 1_B}$ : au aceeași formulă, $x$ , dar domenii diferite, deci sunt funcții diferite.

Răspuns

{g \circ f : A \to A}

{(g \circ f)(x) = x}

, și

{f \circ g : B \to B}

{(f \circ g)(x) = x}

; adică

{g \circ f = 1_A}

și

{f \circ g = 1_B}

b) $f(x) = -2x + 3$ , $g(x) = \dfrac{x + 3}{2}$ , $A = B = \mathbb R$ .

Pune toată expresia funcției aplicate prima, între paranteze, în locul lui

x

din formula celeilalte. Atenție la minusul din fața lui

2

1. Calculăm $g \circ f$
Compunerea funcțiilor (manual, p. 80)
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : se aplică întâi $f$ , apoi $g$ . Aici ambele funcții merg din $\mathbb R$ în $\mathbb R$ , deci $g \circ f$ și $f \circ g$ sunt definite pe $\mathbb R$ .
În formula lui $g$ înlocuim $x$ cu $f(x) = -2x + 3$ :
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= g(-2x + 3) \\ &= \dfrac{(-2x + 3) + 3}{2} \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $(g \circ f)(x)$ , după simplificare?
2. Calculăm $f \circ g$
Acum în formula lui $f$ înlocuim $x$ cu $g(x) = \dfrac{x + 3}{2}$ :
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f\left(\dfrac{x + 3}{2}\right) \\ &= -2 \cdot \dfrac{x + 3}{2} + 3 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $(f \circ g)(x)$ ?
3. Sunt cele două compuneri egale?
Avem $(g \circ f)(x) = -x + 3$ și $(f \circ g)(x) = -x$ . Pentru orice $x$ , diferența dintre ele este $3$ , deci nu sunt egale în niciun punct: de exemplu $(g \circ f)(0) = 3$ , dar $(f \circ g)(0) = 0$ .
Graficele sunt două drepte paralele: nu se întâlnesc, deci $g \circ f \ne f \circ g$ .
Este exact ce spune manualul la p. 81: compunerea funcțiilor nu este comutativă, chiar și atunci când ambele compuneri au sens.

Răspuns

(g \circ f)(x) = -x + 3

și

(f \circ g)(x) = -x

, pentru orice

x \in \mathbb R

; cele două compuneri sunt diferite.

c) $f(x) = x^2 + 3x + 3$ , $g(x) = \dfrac{-3 + \sqrt{4x - 3}}{2}$ , $A = \left[-\dfrac32, \infty\right)$ , $B = \left[\dfrac34, \infty\right)$ .

Pentru

g \circ f

, calculează întâi expresia de sub radical,

4f(x) - 3

, și privește-o atent: îți amintește de o formulă de calcul prescurtat? Pentru

f \circ g

, scrie

f

cu pătratul restrâns,

f(x) = \left(x + \frac32\right)^2 + \frac34

1. Ce se cere și o formă comodă pentru $f$
Compunerea funcțiilor (manual, p. 80)
Pentru $f : A \to B$ și $g : B \to A$ : $g \circ f : A \to A$ , $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ , și $f \circ g : B \to B$ , $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ .
Restrângem pătratul în $f$ (din gimnaziu): $x^2 + 3x = \left(x + \frac32\right)^2 - \frac94$ , deci
$f(x) = \left(x + \dfrac32\right)^2 + \dfrac34$
Forma aceasta arată că $f(x) \ge \frac34$ , deci $f$ chiar ia valori în $B$ . Ea ne va ajuta și la $f \circ g$ .
2. Calculăm $g \circ f$
În $g$ , sub radical apare $4 \cdot (\text{argument}) - 3$ . Cu argumentul $f(x)$ :
Verifică-te
Cât este $4f(x) - 3$ , adică $4(x^2 + 3x + 3) - 3$ ?
Deci ${\sqrt{4f(x) - 3}} = {\sqrt{(2x + 3)^2}} = |2x + 3|$ (din gimnaziu, $\sqrt{a^2} = |a|$ ). Pe $A$ avem $x \ge -\frac32$ , adică $2x + 3 \ge 0$ , deci $|2x + 3| = 2x + 3$ . Atunci
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= \dfrac{-3 + (2x + 3)}{2} \\ &= x \end{aligned}$
3. Calculăm $f \circ g$
Pentru $x \in B$ notăm $t = g(x)$ . Din formula lui $g$ , $t + \frac32 = \dfrac{\sqrt{4x - 3}}{2}$ . Folosim forma restrânsă a lui $f$ :
$\begin{aligned} f(t) &= \left(t + \dfrac32\right)^2 + \dfrac34 \\ &= \left(\dfrac{\sqrt{4x - 3}}{2}\right)^2 + \dfrac34 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $\left(\dfrac{\sqrt{4x - 3}}{2}\right)^2$ , pentru $x \ge \frac34$ ?
Atunci $(f \circ g)(x) = \dfrac{4x - 3}{4} + \dfrac34 = \dfrac{4x}{4} = x$ .
4. Verificare, și de ce contează mulțimea $A$
$x \in A$ $f(x)$ $g(f(x))$
$-1$ $1$ $-1$
$0$ $3$ $0$
$1$ $7$ $1$
$\begin{aligned} g(7) &= \dfrac{-3 + \sqrt{25}}{2} \\ &= \dfrac{-3 + 5}{2} = 1 \end{aligned}$
Pentru $x = -2$ , care nu este în $A$ : $f(-2) = 1$ și $g(1) = -1 \ne -2$ . Acolo $2x + 3 < 0$ , iar $|2x + 3| \ne 2x + 3$ . De aceea $A$ începe exact la $-\frac32$ .
Ca la a), am obținut ${g \circ f = 1_A}$ și ${f \circ g = 1_B}$ , funcțiile identice ale lui $A$ și $B$ (manual, p. 81).

$x \in A$	$f(x)$	$g(f(x))$
$-1$	$1$	$-1$
$0$	$3$	$0$
$1$	$7$	$1$

Răspuns

(g \circ f)(x) = x

pentru

x \in A

și

(f \circ g)(x) = x

pentru

x \in B

, adică

{g \circ f = 1_A}

și

{f \circ g = 1_B}

Exercițiul 8 · g∘fg \circ fg∘f și f∘gf \circ gf∘g

a)f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1f(x)=x2+1, g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x - 1}g(x)=x−1​, A=[0,∞)A = [0, \infty)A=[0,∞), B=[1,∞)B = [1, \infty)B=[1,∞).

1. Ce înseamnă g∘fg \circ fg∘f și pe ce mulțime e definită ✓

2. Calculăm g∘fg \circ fg∘f ✓

3. Calculăm f∘gf \circ gf∘g ✓

4. Verificare pe numere ✓

b)f(x)=−2x+3f(x) = -2x + 3f(x)=−2x+3, g(x)=x+32g(x) = \dfrac{x + 3}{2}g(x)=2x+3​, A=B=RA = B = \mathbb RA=B=R.

1. Calculăm g∘fg \circ fg∘f ✓

2. Calculăm f∘gf \circ gf∘g ✓

3. Sunt cele două compuneri egale? ✓

c)f(x)=x2+3x+3f(x) = x^2 + 3x + 3f(x)=x2+3x+3, g(x)=−3+4x−32g(x) = \dfrac{-3 + \sqrt{4x - 3}}{2}g(x)=2−3+4x−3​​, A=[−32,∞)A = \left[-\dfrac32, \infty\right)A=[−23​,∞), B=[34,∞)B = \left[\dfrac34, \infty\right)B=[43​,∞).

1. Ce se cere și o formă comodă pentru fff ✓

2. Calculăm g∘fg \circ fg∘f ✓

3. Calculăm f∘gf \circ gf∘g ✓

4. Verificare, și de ce contează mulțimea AAA ✓

Exercițiul 8 · $g \circ f$ și $f \circ g$

a) $f(x) = x^2 + 1$ , $g(x) = \sqrt{x - 1}$ , $A = [0, \infty)$ , $B = [1, \infty)$ .

1. Ce înseamnă $g \circ f$ și pe ce mulțime e definită

2. Calculăm $g \circ f$

3. Calculăm $f \circ g$

4. Verificare pe numere

b) $f(x) = -2x + 3$ , $g(x) = \dfrac{x + 3}{2}$ , $A = B = \mathbb R$ .

1. Calculăm $g \circ f$

2. Calculăm $f \circ g$

3. Sunt cele două compuneri egale?

c) $f(x) = x^2 + 3x + 3$ , $g(x) = \dfrac{-3 + \sqrt{4x - 3}}{2}$ , $A = \left[-\dfrac32, \infty\right)$ , $B = \left[\dfrac34, \infty\right)$ .

1. Ce se cere și o formă comodă pentru $f$

2. Calculăm $g \circ f$

3. Calculăm $f \circ g$

4. Verificare, și de ce contează mulțimea $A$