Manual · pagina 83

Exercițiul 9 · Funcția profit

Pentru a-și deschide o afacere de vânzare online de tricouri, Andrei analizează piața și stabilește următoarele funcții pentru venituri și cheltuieli, unde $x$ reprezintă numărul de tricouri vândute lunar:

funcția venit $(R)$ : $R(x) = 60x$ (Andrei vinde un tricou cu $60$ de lei);

funcția de cost $(C)$ : $C(x) = 25x + 350$ (costul de producție este $25$ de lei per tricou, iar chiria site-ului și publicitatea costă $350$ de lei lunar).

a) Determină funcția profit, $P(x)$ , definită ca diferența dintre venituri și costuri: $P = R - C$ .

b) Calculează $P(20)$ și interpretează rezultatul.

a)Determină funcția profit, $P(x)$ , definită ca diferența dintre venituri și costuri: $P = R - C$ .

Scrie

P(x) = R(x) - C(x)

și pune toată expresia lui

C(x)

între paranteze: minusul din față se aplică ambilor termeni.

1. Ce înseamnă diferența a două funcții
Suma funcțiilor și produsul cu un număr (manual, p. 79)
$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ și $(af)(x) = a \cdot f(x)$ , pentru orice $x$ din domeniul comun.
Diferența este suma cu $(-1) \cdot g$ : $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$ .
Aici $x$ este un număr de tricouri, deci un număr natural: $R$ , $C$ și $P$ sunt definite pe $\mathbb N$ . Profitul înseamnă ce rămâne din bani după ce plătești costurile:
$\begin{aligned} P(x) &= R(x) - C(x) \\ &= 60x - (25x + 350) \end{aligned}$
2. Desfacem paranteza
Verifică-te
Cât este $P(x) = 60x - (25x + 350)$ , după ce desfaci paranteza și reduci?
3. Ce înseamnă numerele din formulă
$P(x) = 35x - 350$ .
$35$ este câștigul pe un tricou: Andrei îl vinde cu $60$ de lei și îl produce cu $25$ , deci rămân $60 - 25 = 35$ de lei.
$-350$ este ce se întâmplă dacă nu vinde nimic: $P(0) = -350$ , adică pierde chiria și publicitatea.
Fiecare tricou vândut adaugă $35$ de lei, deci $P$ este strict crescătoare: cu cât vinde mai mult, cu atât profitul e mai mare.

Răspuns

P : \mathbb N \to \mathbb R

P(x) = 35x - 350

(lei).

b)Calculează $P(20)$ și interpretează rezultatul.

Folosește formula profitului de la a),

P(x) = 35x - 350

, sau calculează separat venitul și costul pentru

20

de tricouri.

1. Calculăm $P(20)$
La a) am găsit $P(x) = R(x) - C(x) = 35x - 350$ . Înlocuim $x$ cu $20$ :
$P(20) = 35 \cdot 20 - 350$
Verifică-te
Cât este $P(20)$ ?
Verificăm separat: venitul este $R(20) = 60 \cdot 20 = 1200$ de lei, costul $C(20) = 25 \cdot 20 + 350 = 850$ de lei, iar $1200 - 850 = 350$ .
2. Interpretarea
$P(20) = 350$ înseamnă: într-o lună în care vinde $20$ de tricouri, după ce plătește producția și chiria site-ului cu publicitatea, lui Andrei îi rămân $350$ de lei, adică are un profit de $350$ de lei.
Mergem un pas mai departe: profitul este $0$ când $35x = 350$ .
Verifică-te
De la câte tricouri vândute lunar Andrei nu mai pierde bani ( $P(x) \ge 0$ )?
3. Pe grafic
Sub axa $Ox$ (mai puțin de $10$ tricouri) Andrei pierde bani, deasupra câștigă. Contează doar punctele cu $x$ natural.

Răspuns

P(20) = 350

: dacă vinde

20

de tricouri într-o lună, Andrei are un profit de

350

de lei. (Sub

10

tricouri pe lună ar fi în pierdere.)

Exercițiul 9 · Funcția profit

a)Determină funcția profit, P(x)P(x)P(x), definită ca diferența dintre venituri și costuri: P=R−CP = R - CP=R−C.

1. Ce înseamnă diferența a două funcții ✓

2. Desfacem paranteza ✓

3. Ce înseamnă numerele din formulă ✓

b)Calculează P(20)P(20)P(20) și interpretează rezultatul.

1. Calculăm P(20)P(20)P(20) ✓

2. Interpretarea ✓

3. Pe grafic ✓

a)Determină funcția profit, $P(x)$ , definită ca diferența dintre venituri și costuri: $P = R - C$ .

1. Ce înseamnă diferența a două funcții

2. Desfacem paranteza

3. Ce înseamnă numerele din formulă

b)Calculează $P(20)$ și interpretează rezultatul.

1. Calculăm $P(20)$

2. Interpretarea

3. Pe grafic