MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 1 · Monotonia funcției −3x+5-3x + 5

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=−3x+5f(x) = -3x + 5. Pe ce intervale este funcția descrescătoare?

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=−3x+5f(x) = -3x + 5. Pe ce intervale este funcția descrescătoare?

Ia două numere oarecare x1≠x2x_1 \ne x_2 și compară cum se schimbă ff când trecem de la unul la celălalt. Semnul raportului de variație spune tot.

  1. 1. Ce înseamnă „descrescătoare”

    Ne interesează intervalele pe care graficul coboară. Raportul de variație le găsește pe toate deodată: îi studiem semnul pentru două numere oarecare x1≠x2x_1 \ne x_2.

  2. 2. Calculăm raportul de variație

    Scriem diferența celor două valori:
    f(x1)−f(x2)=(−3x1+5)−(−3x2+5)\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &\quad = (-3x_1 + 5) \\ &\qquad - (-3x_2 + 5) \end{aligned}
    Raportul de variație este această diferență împărțită la x1−x2x_1 - x_2.

    Verifică-te

    Cât este Rf(x1,x2)R_f(x_1, x_2), după simplificare?

  3. 3. Concluzia

    Raportul de variație nu mai conține nici x1x_1, nici x2x_2: este același număr pentru orice pereche x1≠x2x_1 \ne x_2 de numere reale, oricât de departe ar fi una de alta.

    Verifică-te

    Ce spune asta despre monotonia lui ff?
    −11234−4−3−2−112345678Oxy
    ff
    (0,5)(0, 5)
    (2,−1)(2, -1)

    Graficul lui f(x)=−3x+5f(x) = -3x + 5 coboară de la stânga la dreapta, pe toată axa OxOx.

    Pe orice interval I⊆RI \subseteq \mathbb R, ff este deci tot strict descrescătoare. Cel mai mare interval de descreștere este R\mathbb R însuși.
Răspuns
ff este strict descrescătoare pe tot R\mathbb R (deci și pe orice interval inclus în R\mathbb R), pentru că Rf(x1,x2)=−3<0R_f(x_1, x_2) = -3 < 0.