MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 10 · Paritatea lui x3−4xx^3 - 4x

Analizează paritatea funcției f:[−1,1]→Rf : [-1, 1] \to \mathbb R, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x.

Analizează paritatea funcției f:[−1,1]→Rf : [-1, 1] \to \mathbb R, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x.

Mai întâi verifică dacă domeniul e simetric față de origine. Apoi calculează f(−x)f(-x), cu grijă la semne, și compară cu f(x)f(x) și cu −f(x)-f(x).

  1. 1. Condiția esențială, domeniul

    Aici domeniul nu e tot R\mathbb R, deci condiția trebuie verificată. Dacă −1≤x≤1-1 \le x \le 1, înmulțind cu −1-1 obținem 1≥−x≥−11 \ge -x \ge -1, deci și −x∈[−1,1]-x \in [-1, 1]. Domeniul este simetric și putem studia paritatea.

  2. 2. Calculăm f(−x)f(-x)

    f(−x)=(−x)3−4⋅(−x)f(-x) = (-x)^3 - 4 \cdot (-x)

    Verifică-te

    Cu ce este egal f(−x)f(-x), după ce desfaci parantezele?

  3. 3. Comparăm

    Avem f(−x)=−x3+4xf(-x) = -x^3 + 4x și f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x. Compară f(−x)f(-x) și cu f(x)f(x), și cu −f(x)-f(x).

    Verifică-te

    Ce fel de funcție este ff?
    f(−x)=−x3+4x=−f(x), ∀x∈[−1,1]\begin{aligned} f(-x) &= -x^3 + 4x \\ &= -f(x),\ \forall x \in [-1, 1] \end{aligned}
    Deci ff este impară. Nu este și pară: f(1)=−3f(1) = -3, dar f(−1)=3≠f(1)f(-1) = 3 \ne f(1).
    −2−112−4−3−2−11234Oxy
    ff
    (−1,3)(-1, 3)
    (1,−3)(1, -3)

    Graficul e simetric față de originea OO: rotit cu o jumătate de tură în jurul lui OO, (1,−3)(1, -3) ajunge în (−1,3)(-1, 3).

Răspuns
Domeniul [−1,1][-1, 1] este simetric față de origine și f(−x)=−x3+4x=−f(x)f(-x) = -x^3 + 4x = -f(x) pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1], deci ff este impară (graficul este simetric față de OO).