MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 11 · Imaginea și mărginirea lui −x2+4-x^2 + 4

a) Demonstrează că −x2+4≤−2x+5-x^2 + 4 \le -2x + 5, ∀x∈R\forall x \in \mathbb R.

b) Determină imaginea funcției f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=−x2+4f(x) = -x^2 + 4 și stabilește dacă este mărginită inferior sau superior.

a)Demonstrează că −x2+4≤−2x+5-x^2 + 4 \le -2x + 5, ∀x∈R\forall x \in \mathbb R.

Adu toți termenii într-o singură parte, ca să compari o expresie cu 00. Expresia obținută este un pătrat cunoscut din gimnaziu.

  1. 1. Comparăm cu zero

    O inegalitate „pentru orice xx” se demonstrează cel mai ușor dacă o aducem la forma „expresie ≥0\ge 0”, cu o expresie al cărei semn îl cunoaștem. Mutăm termenii din stânga în dreapta, schimbându-le semnul:
    0≤−2x+5+x2−40 \le -2x + 5 + x^2 - 4

    Verifică-te

    Ce expresie obții în dreapta, ordonată după puterile lui xx?
    Inegalitatea de demonstrat este deci echivalentă cu x2−2x+1≥0x^2 - 2x + 1 \ge 0.

  2. 2. Recunoaștem un pătrat

    Expresia x2−2x+1x^2 - 2x + 1 are forma a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 (formule de calcul prescurtat, din gimnaziu), cu a=xa = x și b=1b = 1.

    Verifică-te

    Cu ce este egal x2−2x+1x^2 - 2x + 1?
    Un pătrat nu este niciodată negativ: (x−1)2≥0(x - 1)^2 \ge 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb R. Mergând înapoi pe șirul de inegalități echivalente, −x2+4≤−2x+5-x^2 + 4 \le -2x + 5 pentru orice xx. Egalitatea are loc doar pentru x=1x = 1.

  3. 3. Ce înseamnă pe grafic

    Inegalitatea spune că graficul lui −x2+4-x^2 + 4 nu urcă niciodată deasupra dreptei y=−2x+5y = -2x + 5. Cele două se ating într-un singur punct, cel cu x=1x = 1, unde ambele valori sunt 33.
    −3−2−11234−5−4−3−2−11234567Oxy
    −x2+4-x^2 + 4
    −2x+5-2x + 5
    (1,3)(1, 3)

    Curba stă sub dreaptă peste tot și o atinge doar în (1,3)(1, 3).

Răspuns
Inegalitatea este echivalentă cu x2−2x+1≥0x^2 - 2x + 1 \ge 0, adică (x−1)2≥0(x - 1)^2 \ge 0, adevărată pentru orice x∈Rx \in \mathbb R (cu egalitate doar în x=1x = 1).

b)Determină imaginea funcției f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=−x2+4f(x) = -x^2 + 4 și stabilește dacă este mărginită inferior sau superior.

Cât de mare poate fi −x2-x^2? Apoi, pentru un număr yy oarecare, încearcă să rezolvi ecuația f(x)=yf(x) = y: pentru ce yy are soluții?

  1. 1. Cea mai mare valoare

    Pentru orice x∈Rx \in \mathbb R avem x2≥0x^2 \ge 0, deci −x2≤0-x^2 \le 0. Adunând 44:

    Verifică-te

    Ce inegalitate obții pentru f(x)=−x2+4f(x) = -x^2 + 4?
    Deci nicio valoare a lui ff nu depășește 44, iar 44 chiar este atinsă: f(0)=4f(0) = 4.

  2. 2. Toate valorile până la 4 sunt atinse

    Mai rămâne de văzut că orice y≤4y \le 4 este o valoare a funcției. Încercăm pe un exemplu: este −5-5 în imagine?

    Verifică-te

    Pentru ce xx avem f(x)=−x2+4=−5f(x) = -x^2 + 4 = -5?
    În general, pentru y≤4y \le 4 ecuația −x2+4=y-x^2 + 4 = y devine x2=4−yx^2 = 4 - y, cu 4−y≥04 - y \ge 0. Ea are soluția x=4−yx = \sqrt{4 - y}, deci f(4−y)=yf\left(\sqrt{4 - y}\right) = y. Pentru y>4y > 4 nu are soluții. Așadar Im f=(−∞,4]\mathrm{Im}\,f = (-\infty, 4].

  3. 3. Mărginire

    Din pasul 1, f(x)≤4f(x) \le 4 pentru orice xx: cu M=4M = 4, ff este mărginită superior.

    Verifică-te

    Este ff mărginită inferior?
    −4−3−2−11234−6−5−4−3−2−112345Oxy
    ff
    y=4y = 4
    (0,4)(0, 4)
    (3,−5)(3, -5)

    Graficul stă sub dreapta y=4y = 4 și coboară oricât de jos. Imaginea, colorată pe OyOy, este (−∞,4](-\infty, 4].

Răspuns
Im f=(−∞,4]\mathrm{Im}\,f = (-\infty, 4]. Funcția este mărginită superior (de exemplu de M=4M = 4, care este chiar maximul, f(0)=4f(0) = 4), dar nu este mărginită inferior, deci este nemărginită.