MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 13 · Înălțimea maximă a unei bile

Traiectoria unei bile aruncate este descrisă de legea f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x. Determină distanța orizontală xx la care bila atinge înălțimea maximă (punctul de extrem).

Bila urmează legea f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x. La ce distanță orizontală xx atinge înălțimea maximă?

Încearcă să scrii −x2+4x-x^2 + 4x ca „un număr minus un pătrat”. Când este acel pătrat cel mai mic?

  1. 1. Ce se cere

    Bila pleacă din punctul (0,0)(0, 0): la distanța orizontală xx ea se află la înălțimea f(x)f(x). Înălțimea maximă este cea mai mare valoare a lui ff, iar punctul de extrem este abscisa xx în care se atinge.

    Mai întâi vedem unde cade bila înapoi pe sol, adică unde f(x)=0f(x) = 0. Dăm factor comun: −x2+4x=x(4−x)-x^2 + 4x = x(4 - x).

    Verifică-te

    În afară de x=0x = 0, unde mai este înălțimea egală cu 00?

  2. 2. Completăm pătratul

    f(x)=−(x2−4x)=−(x2−4x+4)+4=4−(x−2)2\begin{aligned} f(x) &= -(x^2 - 4x) \\ &= -(x^2 - 4x + 4) + 4 \\ &= 4 - (x - 2)^2 \end{aligned}
    Un pătrat nu este niciodată negativ: (x−2)2≥0(x - 2)^2 \ge 0. Deci din 44 scădem mereu un număr ≥0\ge 0, adică f(x)≤4f(x) \le 4.

    Verifică-te

    Pentru ce xx este f(x)f(x) cel mai mare?

  3. 3. De ce x=2x = 2 este punct de extrem

    Lecția numește punct de extrem locul în care funcția își schimbă monotonia (manual, p. 71). Calculăm raportul de variație:
    f(x1)−f(x2)=−(x12−x22)+4(x1−x2)=(x1−x2)(4−(x1+x2))\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &= -(x_1^2 - x_2^2) + 4(x_1 - x_2) \\ &= (x_1 - x_2)\bigl(4 - (x_1 + x_2)\bigr) \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce semn are Rf(x1,x2)=4−(x1+x2)R_f(x_1, x_2) = 4 - (x_1 + x_2) pentru x1≠x2x_1 \ne x_2 din [2,4][2, 4]?
    Deci ff este strict crescătoare pe [0,2][0, 2] (bila urcă) și strict descrescătoare pe [2,4][2, 4] (bila coboară). Monotonia se schimbă în x=2x = 2.

  4. 4. Lectura grafică

    −112345−112345Oxy
    ff
    maxim (2,4)(2, 4)

    Bila urcă până la x=2x = 2, unde atinge înălțimea maximă 44, apoi coboară și cade în x=4x = 4.

    Bila atinge înălțimea maximă f(2)=4f(2) = 4 la distanța orizontală x=2x = 2, exact la jumătatea drumului dintre punctul de lansare și cel de cădere.
Răspuns
Distanța orizontală este x=2x = 2; acolo bila atinge înălțimea maximă f(2)=4f(2) = 4.