MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 14 · Intervale de monotonie pentru 2x2+12x^2 + 1

Dă exemplu de interval II pe care funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=2x2+1f(x) = 2x^2 + 1 este strict descrescătoare. Prin lectură grafică, stabilește dacă exemplul dat corespunde celui mai „mare” interval JJ pe care funcția rămâne strict crescătoare (orice exemplu de interval II verifică faptul că I⊆JI \subseteq J).

Un interval II pe care ff scade strict și cel mai mare interval JJ cu această proprietate.

Calculează raportul de variație Rf(x1,x2)R_f(x_1, x_2) și vezi pentru ce numere x1,x2x_1, x_2 este negativ.

  1. 1. Raportul de variație

    Ca să găsim un interval de descreștere, studiem semnul lui RfR_f. Termenul +1+1 se reduce la scădere:
    f(x1)−f(x2)=2x12−2x22=2(x1−x2)(x1+x2)\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &= 2x_1^2 - 2x_2^2 \\ &= 2(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este Rf(x1,x2)R_f(x_1, x_2)?

  2. 2. Un interval II de descreștere

    Rf(x1,x2)=2(x1+x2)R_f(x_1, x_2) = 2(x_1 + x_2) este negativ exact când x1+x2<0x_1 + x_2 < 0. Dacă x1x_1 și x2x_2 sunt amândouă ≤0\le 0 și diferite, suma lor este negativă.

    Deci ff este strict descrescătoare pe orice interval format din numere negative sau nule.

    Verifică-te

    Care dintre intervalele următoare poate fi II?
    Alegem I=[−5,−2]I = [-5, -2].

  3. 3. Poate un interval de descreștere să treacă de 00?

    Cerința spune că orice interval II de descreștere trebuie să fie inclus în JJ. Ne întrebăm deci până unde se poate întinde un astfel de interval spre dreapta.

    Verifică-te

    Pe intervalul [0,1][0, 1], ce face ff?

    Așadar un interval de descreștere nu poate conține un număr p>0p > 0. Dacă ar conține și alt punct, ar conține un interval mic de numere pozitive, sau întregul [0,p][0, p], iar acolo ff crește.

    Rezultă că orice interval pe care ff scade strict este inclus în (−∞,0](-\infty, 0], iar pe (−∞,0](-\infty, 0] funcția chiar scade strict (pasul 2).

  4. 4. Lectura grafică: intervalul JJ

    −3−2−1123−1123456789Oxy
    ff
    (0,1)(0, 1)

    De la stânga până la x=0x = 0 graficul coboară: J=(−∞,0]J = (-\infty, 0], marcat pe OxOx. După 00 graficul urcă.

    Cel mai „mare” interval pe care ff este strict descrescătoare este J=(−∞,0]J = (-\infty, 0]. Exemplul nostru verifică I=[−5,−2]⊆JI = [-5, -2] \subseteq J, dar nu este JJ: nu ajunge nici până la 00, nici spre −∞-\infty.

    Dacă citim enunțul exact cum este tipărit, cu „crescătoare”: cel mai mare interval pe care ff crește strict este [0,+∞)[0, +\infty), cu un raționament ca la pasul 3. Exemplul I=[−5,−2]I = [-5, -2] nu este inclus în el.

Răspuns

De exemplu, I=[−5,−2]I = [-5, -2]. Cel mai mare interval pe care ff este strict descrescătoare este J=(−∞,0]J = (-\infty, 0]; avem I⊆JI \subseteq J, dar I≠JI \ne J.

(Cel mai mare interval pe care ff este strict crescătoare este [0,+∞)[0, +\infty).)