MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 15 · Costul internetului suplimentar

(Activitate în pereche) Un operator de telefonie mobilă folosește o schemă de tarifare pe bază de consum suplimentar de internet (după epuizarea pachetului inclus). Costul total suplimentar f(x)f(x) (în lei) este în corespondență cu numărul de GB suplimentari consumați (xx). Pentru primii 5 GB suplimentari, costul este de 3 lei/GB. Pentru orice consum peste 5 GB suplimentari, costul scade la 2 lei/GB (pentru a încuraja consumul mare). Funcția costului suplimentar este descrisă analitic de legea

f(x)={3x,daca˘ 0≤x≤52x+5,daca˘ x>5f(x) = \begin{cases} 3x, & \text{dacă } 0 \le x \le 5 \\ 2x + 5, & \text{dacă } x > 5 \end{cases}

în cazul consumului mare (de peste 5 GB) aplicându-se și un tarif fix de 5 lei. Studiați monotonia funcției ff pe cele două intervale distincte, I1=[0,5]I_1 = [0, 5] și I2=(5,∞)I_2 = (5, \infty), precum și pe tot domeniul de definiție. De ce, din punct de vedere matematic, ambele ramuri sunt funcții crescătoare, chiar dacă tariful pe GB scade? Interpretați rezultatul.

Monotonia costului pe I1=[0,5]I_1 = [0, 5], pe I2=(5,∞)I_2 = (5, \infty) și pe [0,∞)[0, \infty); de ce crește costul, deși tariful scade.

Pe fiecare ramură calculează raportul de variație. Pentru tot domeniul, compară cel mai mare cost de pe prima ramură cu costurile de pe a doua.

  1. 1. Cum funcționează tariful

    Domeniul este [0,∞)[0, \infty): numărul de GB suplimentari nu poate fi negativ. Pentru x≤5x \le 5 se folosește prima ramură, iar pentru x>5x > 5 a doua.

    De exemplu, f(5)=3⋅5=15f(5) = 3 \cdot 5 = 15 lei și f(6)=2⋅6+5=17f(6) = 2 \cdot 6 + 5 = 17 lei.

    Verifică-te

    Cât costă 88 GB suplimentari?

  2. 2. Monotonia pe fiecare ramură

    Pe I1=[0,5]I_1 = [0, 5]: f(x1)−f(x2)=3(x1−x2)f(x_1) - f(x_2) = 3(x_1 - x_2), deci Rf=3>0R_f = 3 > 0, iar ff este strict crescătoare pe I1I_1.

    Verifică-te

    Cât este Rf(x1,x2)R_f(x_1, x_2) pentru x1≠x2x_1 \ne x_2 din I2=(5,∞)I_2 = (5, \infty)?

  3. 3. Pe tot domeniul

    Două ramuri crescătoare nu ajung: funcția ar putea „sări în jos” la trecerea dintre ele. Trebuie comparat și un punct x1x_1 de pe prima ramură cu un punct x2x_2 de pe a doua, cu 0≤x1≤5<x20 \le x_1 \le 5 < x_2.

    Folosim ideea din Problema rezolvată 1 (manual, p. 71): o funcție pe ramuri este crescătoare dacă ramurile sunt crescătoare și valorile din stânga nu depășesc valorile din dreapta.

    Verifică-te

    De ce f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) când 0≤x1≤5<x20 \le x_1 \le 5 < x_2?
    1234567891051015202530Oxy
    3x3x
    2x+52x + 5
    (5,15)(5, 15)

    Graficul urcă tot timpul, fără salt la x=5x = 5; după 55 urcă mai puțin abrupt (panta 22 în loc de 33).

    Deci ff este strict crescătoare pe tot domeniul [0,∞)[0, \infty).

  4. 4. De ce crește costul, deși tariful scade

    Tariful pe GB este chiar raportul de variație: cu cât crește costul total pentru fiecare GB în plus. El scade de la 33 la 22 lei/GB, dar rămâne pozitiv. Fiecare GB în plus se plătește, deci costul total tot crește, doar mai încet.

    Monotonia funcției ține de semnul raportului de variație, nu de mărimea lui.

    Verifică-te

    Ce ar trebui să se întâmple ca ff să fie descrescătoare pe I2I_2?
    Interpretare. Cu cât consumi mai mult, cu atât plătești mai mult în total, dar fiecare GB peste primii 55 este mai ieftin. Tariful fix de 55 lei „lipește” cele două ramuri: la 55 GB ambele formule dau 1515 lei, deci nimeni nu plătește mai puțin consumând mai mult.
Răspuns
Pe I1I_1, Rf=3>0R_f = 3 > 0; pe I2I_2, Rf=2>0R_f = 2 > 0, deci ff este strict crescătoare pe fiecare ramură. Cum f(x)≤15<f(x′)f(x) \le 15 < f(x') pentru x≤5<x′x \le 5 < x', ff este strict crescătoare pe tot domeniul [0,∞)[0, \infty). Tariful pe GB scade, dar rămâne pozitiv: costul total crește, doar mai încet.