Manual · pagina 78

Exercițiul 16 · O funcție pe ramuri strict crescătoare

Se consideră o funcție numerică descrisă analitic de legea

$f(x) = \begin{cases} 2x, & x \le 1 \\ x + 1, & x > 1 \end{cases}$

Stabilește dacă funcția este strict crescătoare pe $\mathbb R$ . Justifică.

Este $f$ ( $2x$ pentru $x \le 1$ , $x + 1$ pentru $x > 1$ ) strict crescătoare pe $\mathbb R$ ?

Verifică întâi fiecare ramură. Apoi ia

x_1 \le 1 < x_2

și compară

f(x_1)

f(x_2)

, folosind valoarea în

1

1. Ce trebuie arătat
$f$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$ dacă pentru orice $x_1 < x_2$ avem $f(x_1) < f(x_2)$ (manual, p. 70).
Perechile $x_1 < x_2$ sunt de trei feluri: ambele $\le 1$ , ambele $> 1$ , sau $x_1 \le 1 < x_2$ . Le luăm pe rând.
2. Fiecare ramură
Raportul de variație (manual, p. 70)
Pentru $x_1 \ne x_2$ , $R_f(x_1, x_2) = \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Dacă $R_f > 0$ pe un interval, $f$ este strict crescătoare acolo.
Pentru $x_1 \ne x_2$ din $(-\infty, 1]$ : $R_f = \dfrac{2x_1 - 2x_2}{x_1 - x_2} = 2 > 0$ .
Verifică-te
Cât este $R_f(x_1, x_2)$ pentru $x_1 \ne x_2$ din $(1, \infty)$ ?
3. Trecerea de la o ramură la alta
Rămâne cazul $x_1 \le 1 < x_2$ . Pe prima ramură, $f$ crește, deci $f(x_1) = 2x_1 \le 2 \cdot 1 = 2$ .
Ca în Problema rezolvată 1 de la p. 71, comparăm cu valorile de pe a doua ramură.
Verifică-te
Ce valori ia $f(x) = x + 1$ pentru $x > 1$ ?
$f(x_1) \le 2 < f(x_2)$
La stânga lui $1$ graficul este sub sau pe dreapta $y = 2$ , la dreapta lui $1$ este deasupra ei.
În toate cele trei cazuri $x_1 < x_2$ implică $f(x_1) < f(x_2)$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$ .

Răspuns

Da,

f

este strict crescătoare pe

\mathbb R

: pe

(-\infty, 1]

R_f = 2 > 0

; pe

(1, \infty)

R_f = 1 > 0

; iar pentru

x_1 \le 1 < x_2

f(x_1) \le 2 < f(x_2)