Manual · pagina 78

Exercițiul 17 · Mărginirea lui $x^2 - 2$ pe diferite intervale

(Activitate pe grupe)

a) Studiați dacă funcția descrisă analitic de legea $f(x) = x^2 - 2$ este mărginită pe intervalul $D = [-1, 1]$ . În caz afirmativ, folosind eventual și lectura grafică, determinați extremele (minime, maxime) funcției corespunzătoare intervalului dat.

b) Realizați același studiu în cazul unor intervale $D = [a, b]$ pentru care $|a| \ne |b|$ (module diferite), atât în cazul $0 \in D$ , cât și în cazul $0 \notin D$ . Ce aspecte diferă de la caz la caz?

c) Realizați același studiu și pentru intervalul $D = (-1, 1)$ . Reflectați asupra asemănărilor și diferențelor de comportament între cazurile studiate.

Pentru toate cazurile studiate legea rămâne cea precizată inițial.

a)Este $f(x) = x^2 - 2$ mărginită pe $D = [-1, 1]$ ? Care sunt minimul și maximul?

Pornește de la valorile lui

x^2

când

x

parcurge

[-1, 1]

, apoi scade

2

1. Ce înseamnă „mărginită”
Funcție mărginită (manual, p. 72)
$f : D \to \mathbb R$ este mărginită dacă există numerele $m$ și $M$ cu $m \le f(x) \le M$ pentru orice $x \in D$ . Graficul stă într-o bandă orizontală, între dreptele $y = m$ și $y = M$ .
Cum $f(x) = x^2 - 2$ , ajunge să știm între ce limite stă $x^2$ când $x \in [-1, 1]$ .
Verifică-te
Ce valori ia $x^2$ pentru $x \in [-1, 1]$ ?
2. Marginile și extremele
Scădem $2$ din fiecare membru al inegalității $0 \le x^2 \le 1$ :
$-2 \le x^2 - 2 \le -1$
pentru orice $x \in [-1, 1]$
Deci $f$ este mărginită pe $[-1, 1]$ , cu $m = -2$ și $M = -1$ .
Mai mult, aceste margini sunt atinse: $-2$ este o valoare a funcției, $f(0) = -2$ , deci este minimul.
Verifică-te
Pentru ce $x \in [-1, 1]$ atinge $f$ valoarea maximă $-1$ ?
3. Lectura grafică
Raportul de variație (manual, p. 70)
Dacă raportul de variație $R_f(x_1, x_2)$ (manual, p. 70) este negativ pe un interval, $f$ scade acolo; dacă este pozitiv, crește.
Aici termenii $-2$ se reduc:
$\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &= x_1^2 - x_2^2 \\ &= (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \end{aligned}$
Deci $R_f = x_1 + x_2$ . Pe $[-1, 0]$ este negativ, pe $[0, 1]$ pozitiv: $f$ scade până în $0$ , apoi crește.
Pe $[-1, 1]$ (linia plină) graficul stă în banda dintre dreptele punctate $y = -2$ și $y = -1$ : atinge $-2$ în $(0, -2)$ , minimul, și $-1$ în $(-1, -1)$ și $(1, -1)$ , maximul.

Răspuns

Da,

f

este mărginită pe

[-1, 1]

-2 \le f(x) \le -1

. Minimul este

f(0) = -2

, iar maximul este

f(-1) = f(1) = -1

b)Același studiu pe $D = [a, b]$ cu $|a| \ne |b|$ , pentru $0 \in D$ și pentru $0 \notin D$ . Ce diferă?

Valoarea

x^2 - 2

crește odată cu distanța de la

x

0

. Pe

[a, b]

, care punct este cel mai aproape de

0

și care cel mai departe?

1. O regulă pentru orice interval
De la punctul a) știm că $R_f(x_1, x_2) = x_1 + x_2$ : $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 0]$ și strict crescătoare pe $[0, \infty)$ .
Altfel spus, $f(x) = |x|^2 - 2$ este cu atât mai mare cu cât $x$ este mai departe de $0$ . Pe un interval $[a, b]$ , orice $x$ are $|x| \le \max(|a|, |b|)$ , deci $f$ este mărginită pe orice astfel de interval.
Luăm întâi un exemplu cu $0 \in D$ : $D = [-1, 2]$ , cu $|-1| \ne |2|$ .
Verifică-te
Cât este maximul lui $f$ pe $[-1, 2]$ ?
2. Cazul $0 \in D$
Pe $D = [-1, 2]$ : minimul $f(0) = -2$ în interiorul lui $D$ , maximul $f(2) = 2$ într-un singur capăt.
Dacă $0 \in D$ , minimul este mereu $f(0) = -2$ , pentru că $x^2 \ge 0$ . Când $a < 0 < b$ , ca aici, el se atinge în interiorul intervalului, iar pe $D$ funcția nu este monotonă: scade până în $0$ , apoi crește. (Dacă $0$ este chiar un capăt, ca la $D = [0, 3]$ , funcția este monotonă pe $D$ și minimul $-2$ este în acel capăt.)
Maximul se atinge în capătul mai depărtat de $0$ . Cum $|a| \ne |b|$ , acesta este un singur capăt.
Verifică-te
Pe $D = [-3, 1]$ , în ce punct se atinge maximul?
3. Cazul $0 \notin D$ , la dreapta lui $0$
Dacă $0 < a < b$ , tot intervalul este în $[0, \infty)$ , unde $f$ este strict crescătoare.
Exemplu: $D = [1, 3]$ .
Verifică-te
Care este minimul lui $f$ pe $[1, 3]$ ?
4. Cazul $0 \notin D$ , la stânga lui $0$
Dacă $a < b < 0$ , tot intervalul este în $(-\infty, 0]$ , unde $f$ este strict descrescătoare. Exemplu: $D = [-2, -1]$ .
Verifică-te
Pe $D = [-2, -1]$ , în ce punct se atinge minimul?

5. Ce diferă de la caz la caz

Pe un interval pe care

f

este monotonă, cele mai mici și cele mai mari valori sunt în capete. Pentru

0 < a < b

f

crește, deci

f(a) \le f(x) \le f(b)

; pentru

a < b < 0

f

scade, deci

f(b) \le f(x) \le f(a)

Pe $D = [1, 3]$ funcția crește: minimul și maximul sunt în capete.

Cazul	Ce obținem
${a < 0 < b}$	nemonotonă pe $D$ ; minimul $-2$ , în $x = 0$ (în interior); maximul în capătul mai depărtat de $0$
${a = 0}$ sau ${b = 0}$	monotonă; minimul $-2$ , în capătul $0$ ; maximul în celălalt capăt
${0 < a < b}$	strict crescătoare; minimul $f(a)$ , maximul $f(b)$
${a < b < 0}$	strict descrescătoare; minimul $f(b)$ , maximul $f(a)$

La fel în toate cazurile: $f$ este mărginită și își atinge minimul și maximul.

Diferă: dacă $0 \in D$ , minimul este mereu $-2$ ; când $0$ este în interiorul lui $D$ , funcția nu e monotonă pe $D$ . Dacă $0 \notin D$ , funcția este monotonă pe $D$ și ambele extreme sunt în capete. Față de $[-1, 1]$ , unde maximul se atinge în două puncte, aici $|a| \ne |b|$ face ca maximul să se atingă într-un singur punct.

Răspuns

Pe orice $[a, b]$ , $f$ este mărginită și are minim și maxim; maximul este în capătul mai depărtat de $0$ , atins o singură dată (fiindcă $|a| \ne |b|$ ).

Dacă $0 \in D$ : minimul este $f(0) = -2$ ; dacă $a < 0 < b$ , el este în interior și $f$ nu e monotonă pe $D$ (ex. $[-1, 2]$ : min $-2$ , max $f(2) = 2$ ).

Dacă $0 \notin D$ : $f$ este monotonă pe $D$ , iar minimul este în capătul mai apropiat de $0$ (ex. $[1, 3]$ : min $-1$ , max $7$ ).

c)Același studiu pe $D = (-1, 1)$ . Ce se schimbă față de $[-1, 1]$ ?

Capetele

-1

și

1

nu mai fac parte din

D

. Poate

x^2

să fie egal cu

1

pentru

x \in (-1, 1)

1. Valorile lui $x^2$ pe un interval deschis
Ca la punctul a), pornim de la valorile lui $x^2$ . Diferența este că acum $x$ nu mai poate fi $-1$ sau $1$ : avem $-1 < x < 1$ , adică $|x| < 1$ .
Verifică-te
Ce valori ia $x^2$ pentru $x \in (-1, 1)$ ?
2. Mărginire și minim
Scădem $2$ din fiecare membru:
$-2 \le x^2 - 2 < -1$
pentru orice $x \in (-1, 1)$
Deci $f$ este mărginită pe $(-1, 1)$ : graficul stă între dreptele $y = -2$ și $y = -1$ . Minimul există și este tot $f(0) = -2$ .
Pentru maxim ne uităm la valori din ce în ce mai aproape de capătul $1$ :
$x$ $f(x)$
$0{,}9$ $-1{,}19$
$0{,}99$ $-1{,}0199$
$0{,}999$ $-1{,}001999$
Verifică-te
Are $f$ un maxim pe $(-1, 1)$ ?
3. De ce nu există maxim
Să presupunem că maximul s-ar atinge într-un punct $x_0 \in (-1, 1)$ . Luăm $x_1 = \dfrac{|x_0| + 1}{2}$ , mijlocul dintre $|x_0|$ și $1$ . Atunci $|x_0| < x_1 < 1$ , deci $x_1 \in D$ și $x_1^2 > x_0^2$ , adică $f(x_1) > f(x_0)$ . Contradicție: $f(x_0)$ nu era cea mai mare valoare.
Imaginea lui $f$ pe $(-1, 1)$ este $[-2, -1)$ : conține $-2$ , dar nu și $-1$ .
Capetele arcului sunt goale: graficul se apropie de dreapta punctată $y = -1$ fără s-o atingă. Pe $Oy$ este marcată imaginea $[-2, -1)$ .
4. Asemănări și diferențe
Asemănări. Pe $(-1, 1)$ , ca pe $[-1, 1]$ , funcția este mărginită, are același minim $f(0) = -2$ și aceeași monotonie: scade pe $(-1, 0]$ și crește pe $[0, 1)$ .
Diferențe. Pe intervalele închise $[-1, 1]$ și $[a, b]$ , $f$ are și minim, și maxim. Pe $(-1, 1)$ , $f$ are minim, dar nu are maxim: marginea $-1$ nu este atinsă.
Este răspunsul la întrebarea din lecție (manual, p. 73), dacă afirmația „Orice funcție mărginită admite maxim și minim.” este adevărată: nu este, iar $f$ pe $(-1, 1)$ este un contraexemplu.

$x$	$f(x)$
$0{,}9$	$-1{,}19$
$0{,}99$	$-1{,}0199$
$0{,}999$	$-1{,}001999$

Răspuns

(-1, 1)

f

este mărginită (

-2 \le f(x) < -1

), are minimul

f(0) = -2

, dar nu are maxim; imaginea este

[-2, -1)

. Spre deosebire de intervalele închise, marginea superioară

-1

nu este atinsă.

Exercițiul 17 · Mărginirea lui x2−2x^2 - 2x2−2 pe diferite intervale

a)Este f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2f(x)=x2−2 mărginită pe D=[−1,1]D = [-1, 1]D=[−1,1]? Care sunt minimul și maximul?

1. Ce înseamnă „mărginită” ✓

2. Marginile și extremele ✓

3. Lectura grafică ✓

b)Același studiu pe D=[a,b]D = [a, b]D=[a,b] cu ∣a∣≠∣b∣|a| \ne |b|∣a∣=∣b∣, pentru 0∈D0 \in D0∈D și pentru 0∉D0 \notin D0∈/D. Ce diferă?

1. O regulă pentru orice interval ✓

2. Cazul 0∈D0 \in D0∈D ✓

3. Cazul 0∉D0 \notin D0∈/D, la dreapta lui 000 ✓

4. Cazul 0∉D0 \notin D0∈/D, la stânga lui 000 ✓

5. Ce diferă de la caz la caz ✓

c)Același studiu pe D=(−1,1)D = (-1, 1)D=(−1,1). Ce se schimbă față de [−1,1][-1, 1][−1,1]?

1. Valorile lui x2x^2x2 pe un interval deschis ✓

2. Mărginire și minim ✓

3. De ce nu există maxim ✓

4. Asemănări și diferențe ✓

Exercițiul 17 · Mărginirea lui $x^2 - 2$ pe diferite intervale

a)Este $f(x) = x^2 - 2$ mărginită pe $D = [-1, 1]$ ? Care sunt minimul și maximul?

1. Ce înseamnă „mărginită”

2. Marginile și extremele

3. Lectura grafică

b)Același studiu pe $D = [a, b]$ cu $|a| \ne |b|$ , pentru $0 \in D$ și pentru $0 \notin D$ . Ce diferă?

1. O regulă pentru orice interval

2. Cazul $0 \in D$

3. Cazul $0 \notin D$ , la dreapta lui $0$

4. Cazul $0 \notin D$ , la stânga lui $0$

5. Ce diferă de la caz la caz

c)Același studiu pe $D = (-1, 1)$ . Ce se schimbă față de $[-1, 1]$ ?

1. Valorile lui $x^2$ pe un interval deschis

2. Mărginire și minim

3. De ce nu există maxim

4. Asemănări și diferențe