MateClar
← Capitol

Manual · pagina 78

Exercițiul 18 · Parametrul unei funcții impare

Determină numărul real aa astfel încât funcția f:[−4,4]→Rf : [-4, 4] \to \mathbb R, f(x)=x3+ax2+5xf(x) = x^3 + ax^2 + 5x să fie impară.

Pentru ce aa este ff impară pe [−4,4][-4, 4]?

Calculează f(−x)f(-x) și scrie condiția f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). Ea trebuie să fie adevărată pentru orice xx din domeniu.

  1. 1. Calculăm f(−x)f(-x)

    Domeniul [−4,4][-4, 4] este simetric față de origine: dacă x∈[−4,4]x \in [-4, 4], atunci și −x∈[−4,4]-x \in [-4, 4]. Condiția esențială este îndeplinită, deci comparăm f(−x)f(-x) cu −f(x)-f(x). Înlocuim xx cu (−x)(-x):
    f(−x)=(−x)3+a(−x)2+5(−x)\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^3 + a(-x)^2 \\ &\quad + 5(-x) \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f(−x)f(-x), după ce calculezi puterile?

  2. 2. Condiția de imparitate

    Opusul funcției este −f(x)=−x3−ax2−5x-f(x) = -x^3 - ax^2 - 5x. Scriem f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x):
    −x3+ax2−5x=−x3−ax2−5x  ⟺  2ax2=0\begin{aligned} &-x^3 + ax^2 - 5x \\ &\quad = -x^3 - ax^2 - 5x \\ &\iff 2ax^2 = 0 \end{aligned}
    Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x∈[−4,4]x \in [-4, 4], nu doar pentru unul.

    Verifică-te

    Ce valori poate avea aa?

  3. 3. Verificare

    Pentru a=0a = 0, f(x)=x3+5xf(x) = x^3 + 5x și, pentru orice x∈[−4,4]x \in [-4, 4]:
    f(−x)=−x3−5x=−(x3+5x)=−f(x)\begin{aligned} f(-x) &= -x^3 - 5x \\ &= -(x^3 + 5x) = -f(x) \end{aligned}
    Deci ff este impară.
    −2−1,5−1−0,50,511,52−12−9−6−336912Oxy
    a=0a = 0
    a=1a = 1
    (1,6)(1, 6)
    (−1,−6)(-1, -6)

    Pentru a=0a = 0 graficul este simetric față de OO. Pentru a=1a = 1 (punctat), f(1)=7f(1) = 7, dar f(−1)=−5f(-1) = -5: valorile nu mai sunt opuse.

Răspuns
a=0a = 0; atunci f(x)=x3+5xf(x) = x^3 + 5x și f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) pentru orice x∈[−4,4]x \in [-4, 4].