Manual · pagina 78

Exercițiul 19 · Graficul lui $5 - |x|$

Reprezintă (eventual digital) graficul funcției descrise de legea

f(x) = 5 - |x|

și definite pe intervalul

[-5, 5]

. Stabilește intervalele de monotonie și maximul funcției.

Graficul lui $f(x) = 5 - |x|$ pe $[-5, 5]$ , intervalele de monotonie și maximul.

Scrie

f

fără modul, separat pentru

x \le 0

și pentru

x \ge 0

. Pe fiecare bucată obții o funcție de gradul I.

1. Explicităm modulul
Modulul (din gimnaziu)
$|x| = x$ dacă $x \ge 0$ și $|x| = -x$ dacă $x < 0$ .
Pentru $x \in [0, 5]$ avem $|x| = x$ , deci $f(x) = 5 - x$ .
Verifică-te
Cât este $f(x)$ pentru $x \in [-5, 0]$ ?
2. Graficul
Pe fiecare bucată avem o funcție de gradul I, deci graficul este format din două segmente. Calculăm valorile în capete și în $0$ : $f(-5) = 0$ , $f(0) = 5$ , $f(5) = 0$ .
Graficul lui $f(x) = 5 - |x|$ pe $[-5, 5]$ : un „acoperiș” cu vârful în $(0, 5)$ .
3. Intervalele de monotonie
Raportul de variație (manual, p. 70)
Pentru $x_1 \ne x_2$ , $R_f(x_1, x_2) = \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ ; $R_f > 0$ înseamnă strict crescătoare, $R_f < 0$ strict descrescătoare.
Pe grafic se vede: funcția urcă de la $-5$ la $0$ și coboară de la $0$ la $5$ . Confirmăm cu raportul de variație. Pe $[-5, 0]$ : $\dfrac{(5 + x_1) - (5 + x_2)}{x_1 - x_2} = 1 > 0$ , deci $f$ este strict crescătoare.
Verifică-te
Cât este $R_f(x_1, x_2)$ pentru $x_1 \ne x_2$ din $[0, 5]$ ?
4. Maximul
Pe grafic, cel mai înalt punct este vârful $(0, 5)$ . Lectura grafică trebuie însă justificată: arătăm că $f(x) \le 5$ pentru orice $x \in [-5, 5]$ și că valoarea $5$ este atinsă doar în $0$ .
Verifică-te
De ce $f(x) < 5$ pentru orice $x \ne 0$ din $[-5, 5]$ ?
Maximul este $f(0) = 5$ , chiar în punctul în care $f$ trece de la creștere la scădere. Graficul arată și minimul: $f(-5) = f(5) = 0$ , la capetele intervalului.

Răspuns

Graficul este format din segmentele de la

(-5, 0)

(0, 5)

și de la

(0, 5)

(5, 0)

f

este strict crescătoare pe

[-5, 0]

și strict descrescătoare pe

[0, 5]

; maximul este

f(0) = 5