Manual · pagina 77

Exercițiul 2 · Minimul și maximul pe $[-1, 2]$

Se consideră funcția

f : [-1, 2] \to \mathbb R

f(x) = x + 1

. Determină minimul și maximul funcției.

Se consideră funcția $f : [-1, 2] \to \mathbb R$ , $f(x) = x + 1$ . Determină minimul și maximul funcției.

Află mai întâi dacă

f

crește sau descrește pe

[-1, 2]

. Apoi gândește-te în ce capăt al intervalului graficul este cel mai jos.

1. Ce se cere
Minimul și maximul unei funcții (manual, p. 71 și p. 73)
Minimul lui $f$ este cea mai mică valoare a funcției: $m = f(x_0)$ , cu $f(x) \ge m$ pentru orice $x$ din domeniu.
Maximul lui $f$ este cea mai mare valoare: $M = f(x_1)$ , cu $f(x) \le M$ pentru orice $x$ din domeniu.
Domeniul este doar intervalul $[-1, 2]$ , deci graficul este un segment de dreaptă. Ca să știm unde e cel mai jos și cel mai sus punct al lui, aflăm întâi monotonia.
2. Monotonia, cu raportul de variație
Pentru $x_1 \ne x_2$ din $[-1, 2]$ (raportul de variație, manual, p. 70):
$\begin{aligned} &R_f(x_1, x_2) \\ &\quad = \frac{(x_1 + 1) - (x_2 + 1)}{x_1 - x_2} \\[4pt] &\quad = \frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_2} = 1 \end{aligned}$
Raportul este pozitiv, deci $f$ este strict crescătoare pe $[-1, 2]$ : cu cât $x$ e mai mare, cu atât $f(x)$ e mai mare.
Verifică-te
În ce punct al domeniului ia $f$ cea mai mică valoare?
3. Valorile din capete
Pentru orice $x$ cu $-1 \le x \le 2$ , monotonia dă $f(-1) \le f(x) \le f(2)$ . Minimul este $f(-1) = -1 + 1 = 0$ .
Verifică-te
Cât este maximul funcției?
Graficul este segmentul dintre $(-1, 0)$ și $(2, 3)$ : cel mai jos punct e la stânga, cel mai înalt la dreapta.

Răspuns

Minimul este

f(-1) = 0

, iar maximul este

f(2) = 3