MateClar
← Capitol

Manual · pagina 78

Exercițiul 20 · Monotonia unei funcții impare

Un pendul oscilează, iar funcția ff dă poziția sa. Dacă ff este impară și este crescătoare pe [0,5][0, 5], ce se poate spune despre monotonia ei pe [−5,0][-5, 0]?

ff este impară și crescătoare pe [0,5][0, 5]. Ce monotonie are pe [−5,0][-5, 0]?

Ia x1<x2x_1 < x_2 din [−5,0][-5, 0]. Numerele −x1-x_1 și −x2-x_2 sunt în [0,5][0, 5], unde știi ce face ff. Apoi folosește f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

  1. 1. Mutăm problema pe [0,5][0, 5]

    Domeniul conține [0,5][0, 5] și, fiind simetric, și [−5,0][-5, 0]. Despre [−5,0][-5, 0] nu știm nimic direct, dar fiecare x∈[−5,0]x \in [-5, 0] are „perechea” −x∈[0,5]-x \in [0, 5].

    Luăm două numere x1<x2x_1 < x_2 din [−5,0][-5, 0] și ne uităm la perechile lor.

    Verifică-te

    Cum sunt așezate −x1-x_1 și −x2-x_2?

  2. 2. Folosim cele două ipoteze

    Pe [0,5][0, 5] funcția este crescătoare, iar −x2<−x1-x_2 < -x_1, deci f(−x2)≤f(−x1)f(-x_2) \le f(-x_1). Funcția este impară, deci f(−x1)=−f(x1)f(-x_1) = -f(x_1) și f(−x2)=−f(x2)f(-x_2) = -f(x_2):
    −f(x2)≤−f(x1)-f(x_2) \le -f(x_1)

    Verifică-te

    Ce rezultă despre ff pe [−5,0][-5, 0]?

  3. 3. Lectura grafică

    −5−4−3−2−112345−5−4−3−2−112345Oxy
    ff
    PP
    P′P'

    Un exemplu de funcție impară, crescătoare pe [0,5][0, 5]. Prin simetria față de OO, punctul PP trece în P′P', iar porțiunea care urcă de la 00 la 55 devine o porțiune care urcă de la −5-5 la 00.

    Simetria față de origine întoarce graficul „cu susul în jos și de la dreapta la stânga”. Cele două întoarceri se compensează, deci un grafic care urcă rămâne un grafic care urcă.

    Dacă ff ar fi strict crescătoare pe [0,5][0, 5], același raționament, cu << în loc de ≤\le, ar arăta că este strict crescătoare și pe [−5,0][-5, 0]. Pentru pendul: dacă poziția crește pe intervalul [0,5][0, 5], ea crește și pe intervalul simetric [−5,0][-5, 0].

Răspuns
ff este crescătoare și pe [−5,0][-5, 0]: din x1<x2≤0x_1 < x_2 \le 0 rezultă −x2<−x1-x_2 < -x_1 în [0,5][0, 5], deci f(−x2)≤f(−x1)f(-x_2) \le f(-x_1), adică −f(x2)≤−f(x1)-f(x_2) \le -f(x_1) și f(x1)≤f(x2)f(x_1) \le f(x_2).