Manual · pagina 78

Exercițiul 21 · Temperatura dintr-o mini-seră

Un grup de elevi, pasionați de botanică, folosesc un sistem automat pentru a menține temperatura optimă într-o mini-seră. Sistemul reglează temperatura $f(x)$ (°C) în funcție de luminozitatea $x$ (măsurată în unități de la 0 la 10). Pentru luminozitate scăzută temperatura scade, iar pentru luminozitate ridicată temperatura crește, dar sistemul are un punct critic de reglare la $x = 4$ , descrierea analitică fiind

$f(x) = \begin{cases} -3x + 20, & \text{dacă } 0 \le x \le 4 \\ 5x - 12, & \text{dacă } 4 < x \le 10 \end{cases}$

a) Stabilește monotonia funcției $f$ pe fiecare dintre ramurile corespunzătoare intervalelor $I_1 = [0, 4]$ și $I_2 = (4, 10]$ .

b) Este funcția crescătoare, descrescătoare sau are punct de extrem? Justifică!

a)Monotonia lui $f$ pe $I_1 = [0, 4]$ și pe $I_2 = (4, 10]$ .

Pe fiecare interval legea este de gradul I. Calculează raportul de variație și uită-te la semnul lui.

1. Ramura de pe $I_1 = [0, 4]$
Raportul de variație (manual, p. 70)
Pentru $x_1 \ne x_2$ , $R_f(x_1, x_2) = \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Dacă $R_f > 0$ pe un interval, $f$ este strict crescătoare acolo; dacă $R_f < 0$ , este strict descrescătoare.
Pe $I_1$ :
$\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &= (-3x_1 + 20) \\ &\quad - (-3x_2 + 20) \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $R_f(x_1, x_2)$ pentru $x_1 \ne x_2$ din $I_1$ ?
2. Ramura de pe $I_2 = (4, 10]$
Pe $I_2$ legea este $5x - 12$ . Calculează $R_f(x_1, x_2)$ la fel ca pe $I_1$ .
Verifică-te
Ce monotonie are $f$ pe $I_2$ ?
Interpretare. Pentru luminozitate de la $0$ la $4$ , temperatura scade cu $3$ °C la fiecare unitate de luminozitate; peste $4$ , ea crește cu $5$ °C la fiecare unitate.

Răspuns

I_1 = [0, 4]

R_f = -3 < 0

f

este strict descrescătoare. Pe

I_2 = (4, 10]

R_f = 5 > 0

f

este strict crescătoare.

b)Este $f$ crescătoare, descrescătoare sau are punct de extrem pe $[0, 10]$ ? Justifică.

De la a) știi că

f

scade pe

[0, 4]

și crește pe

(4, 10]

. Compară

f(4)

cu valorile din stânga și din dreapta lui

4

1. Nu este monotonă pe tot intervalul
De la a): $f$ este strict descrescătoare pe $[0, 4]$ și strict crescătoare pe $(4, 10]$ . Pentru întregul interval $[0, 10]$ comparăm câteva valori.
$f(0) = 20$ și $f(10) = 5 \cdot 10 - 12 = 38$ . Punctul $x = 4$ aparține primei ramuri ( $x \le 4$ ).
Verifică-te
Cât este $f(4)$ ?
2. Ce fel de punct este $x = 4$
Avem $0 < 4$ , dar $f(0) = 20 > f(4) = 8$ , deci $f$ nu este crescătoare pe $[0, 10]$ . Avem $4 < 10$ , dar $f(4) = 8 < f(10) = 38$ , deci nu este nici descrescătoare.
Funcția este nemonotonă pe $[0, 10]$ , dar monotonă pe intervale.
În $x = 4$ funcția își schimbă monotonia: trece de la scădere la creștere. Lecția spune ce fel de punct de extrem apare într-un astfel de loc (manual, p. 71).
Verifică-te
Ce este $x = 4$ pentru $f$ ?
3. Justificarea minimului
Pentru $x \in [0, 4]$ : $x \le 4$ dă $-3x \ge -12$ , deci $f(x) = -3x + 20 \ge 8$ .
Pentru $x \in (4, 10]$ : $x > 4$ dă $5x > 20$ , deci $f(x) = 5x - 12 > 8$ .
Deci $f(x) \ge f(4) = 8$ pentru orice $x \in [0, 10]$ : $x = 4$ este punct de minim, iar minimul (temperatura cea mai mică) este $8$ °C.
Graficul coboară până în $(4, 8)$ , apoi urcă: $x = 4$ este punctul de minim.
Cea mai mare valoare este la capătul intervalului: $f(10) = 38$ (pe ramura a doua $f$ crește, iar $38 > f(0) = 20$ ).
Interpretare. La luminozitatea $4$ , punctul critic de reglare, sistemul ține sera la cea mai mică temperatură, $8$ °C; la lumină mai slabă sau mai puternică, temperatura este mai mare.

Răspuns

Funcția nu este nici crescătoare, nici descrescătoare pe

[0, 10]

, pentru că

f(0) = 20 > f(4) = 8

și

f(4) = 8 < f(10) = 38

: este nemonotonă. Are un punct de extrem, punctul de minim

x = 4

, cu minimul

f(4) = 8

, pentru că

f(x) \ge 8

pentru orice

x \in [0, 10]

Exercițiul 21 · Temperatura dintr-o mini-seră

a)Monotonia lui fff pe I1=[0,4]I_1 = [0, 4]I1​=[0,4] și pe I2=(4,10]I_2 = (4, 10]I2​=(4,10].

1. Ramura de pe I1=[0,4]I_1 = [0, 4]I1​=[0,4] ✓

2. Ramura de pe I2=(4,10]I_2 = (4, 10]I2​=(4,10] ✓

b)Este fff crescătoare, descrescătoare sau are punct de extrem pe [0,10][0, 10][0,10]? Justifică.

1. Nu este monotonă pe tot intervalul ✓

2. Ce fel de punct este x=4x = 4x=4 ✓

3. Justificarea minimului ✓

a)Monotonia lui $f$ pe $I_1 = [0, 4]$ și pe $I_2 = (4, 10]$ .

1. Ramura de pe $I_1 = [0, 4]$

2. Ramura de pe $I_2 = (4, 10]$

b)Este $f$ crescătoare, descrescătoare sau are punct de extrem pe $[0, 10]$ ? Justifică.

1. Nu este monotonă pe tot intervalul

2. Ce fel de punct este $x = 4$

3. Justificarea minimului