Manual · pagina 78

Exercițiul 22 · Funcții convexe și concave în același timp

Cere unui asistent IA să răspundă argumentat la următoarea întrebare: „Există funcții numerice care sunt și convexe și concave?”. Folosind cele prezentate în această lecție pentru introducerea noțiunilor de convexitate/concavitate, validează sau invalidează răspunsul furnizat de IA, apoi verifică și la nivelul clasei.

Există funcții numerice care sunt și convexe, și concave? Argumentează.

Scrie ce cere fiecare definiție despre porțiunea de grafic dintre două puncte

A

și

B

. Unde poate fi o porțiune care le respectă pe amândouă?

1. Ce cer cele două definiții
Convexă, concavă (manual, p. 74)
$f : I \to \mathbb R$ este convexă pe intervalul $I$ dacă, pentru orice două puncte $A$ și $B$ de pe grafic, porțiunea de grafic dintre $A$ și $B$ este sub segmentul $AB$ sau pe el (forma de „vale”).
$f$ este concavă dacă porțiunea dintre $A$ și $B$ este deasupra segmentului $AB$ sau pe el (forma de „munte”).
O funcție convexă și concavă ar trebui să respecte ambele condiții pentru aceleași puncte $A$ și $B$ .
Verifică-te
Dacă porțiunea de grafic dintre $A$ și $B$ este și „sub sau pe $AB$ ”, și „deasupra sau pe $AB$ ”, unde se află ea?
2. Căutăm un exemplu
Ne trebuie deci o funcție al cărei grafic, între oricare două puncte $A$ și $B$ ale sale, este chiar segmentul $AB$ .
Verifică-te
Care dintre funcțiile următoare are această proprietate pe $\mathbb R$ ?
3. Funcțiile de gradul I
Graficul unei funcții de gradul I, $f(x) = ax + b$ , este o dreaptă: oricum am alege $A$ și $B$ pe ea, porțiunea dintre ele este segmentul $AB$ . Deci $f$ este și convexă, și concavă.
Manualul o spune la p. 76 (Observația 2).
Între $A$ și $B$ graficul coincide cu segmentul $AB$ : nu este nici sub, nici deasupra lui.
4. Sunt și altele?
Fie $f$ convexă și concavă pe un interval $I$ . Fixăm două puncte ale graficului, $A(a, f(a))$ și $B(b, f(b))$ , cu $a < b$ , și notăm cu $d$ dreapta $AB$ .
Pentru orice $x$ între $a$ și $b$ , pasul 1 spune că punctul $(x, f(x))$ este pe segmentul $AB$ . Dacă $x > b$ , folosim punctele $A$ și $C(x, f(x))$ : $B$ este între ele, deci $B$ este pe segmentul $AC$ , iar dreapta $AC$ este tot $d$ ; așadar $C \in d$ . La fel pentru $x < a$ .
Toate punctele graficului sunt pe dreapta $d$ . O dreaptă care este graficul unei funcții nu este verticală, deci ${f(x) = mx + n}$ pe $I$ , pentru niște numere $m$ și $n$ .
Verifică-te
Este funcția constantă $h(x) = 3$ și convexă, și concavă?
5. Validăm răspunsul asistentului IA
Un răspuns bun al asistentului trebuie să spună da și să dea exemplul funcțiilor de gradul I (și al celor constante), cu argumentul că graficul lor este o dreaptă.
Un răspuns de tipul „nu, convex și concav sunt opuse” este greșit: îl invalidezi cu contraexemplul $f(x) = 2x + 1$ și cu definițiile, în care apar cuvintele „sau pe segment”.
Un răspuns care dă doar exemplul $x^2$ sau $-x^2$ este și el greșit: fiecare are doar una dintre proprietăți.

Răspuns

Da, există: funcțiile de forma

f(x) = ax + b

(inclusiv cele constante) sunt și convexe, și concave, pentru că între oricare două puncte

A

B

ale graficului porțiunea de grafic este chiar segmentul

AB

. Sunt singurele: dacă

f

este și convexă, și concavă pe un interval, graficul ei este situat pe o dreaptă.

Exercițiul 22 · Funcții convexe și concave în același timp

Există funcții numerice care sunt și convexe, și concave? Argumentează.

1. Ce cer cele două definiții ✓

2. Căutăm un exemplu ✓

3. Funcțiile de gradul I ✓

4. Sunt și altele? ✓

5. Validăm răspunsul asistentului IA ✓

1. Ce cer cele două definiții

2. Căutăm un exemplu

3. Funcțiile de gradul I

4. Sunt și altele?

5. Validăm răspunsul asistentului IA