Manual · pagina 77

Exercițiul 3 · Paritatea lui $5x^4 - 2x^2 + 1$

Verifică paritatea funcției

f : \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = 5x^4 - 2x^2 + 1

Verifică paritatea funcției $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 5x^4 - 2x^2 + 1$ .

Calculează

f(-x)

și compară rezultatul cu

f(x)

și cu

-f(x)

. Ce se întâmplă cu

-x

ridicat la o putere pară?

1. Ce înseamnă paritatea
Funcții pare și impare (manual, p. 73)
Domeniul $D$ trebuie să fie simetric față de origine: pentru orice $x \in D$ , și $-x \in D$ .
$f$ este pară dacă $f(-x) = f(x)$ pentru orice $x \in D$ : graficul este simetric față de axa $Oy$ .
$f$ este impară dacă $f(-x) = -f(x)$ pentru orice $x \in D$ : graficul este simetric față de originea $O$ .
„Verifică paritatea” înseamnă: stabilește dacă $f$ este pară, impară sau niciuna. Domeniul $\mathbb R$ este simetric, deci condiția esențială e îndeplinită și putem calcula $f(-x)$ .
2. Calculăm $f(-x)$
Înlocuim $x$ cu $-x$ , între paranteze:
$\begin{aligned} f(-x) &= 5(-x)^4 \\ &\quad - 2(-x)^2 + 1 \end{aligned}$
Verifică-te
Cu ce sunt egale $(-x)^4$ și $(-x)^2$ ?
Deci $f(-x) = 5x^4 - 2x^2 + 1$ .
3. Concluzia
Verifică-te
Comparând $f(-x)$ cu $f(x)$ , ce fel de funcție este $f$ ?
Graficul lui $f$ este simetric față de axa $Oy$ : punctele $(1, 4)$ și $(-1, 4)$ sunt oglindite unul în altul.

Răspuns

f

este pară:

f(-x) = 5x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)

pentru orice

x \in \mathbb R

. Graficul ei este simetric față de axa

Oy