MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 4 · Simetriile graficului lui x3x^3

Este graficul funcției f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3f(x) = x^3 simetric față de axa OyOy? Dar față de origine? Există funcții numerice care să fie în același timp simetrice față de OyOy și față de origine? Justifică.

Este graficul funcției f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3f(x) = x^3 simetric față de axa OyOy? Dar față de origine? Există funcții numerice care să fie în același timp simetrice față de OyOy și față de origine? Justifică.

Simetria față de OyOy înseamnă funcție pară, iar cea față de origine, funcție impară. Pentru ultima întrebare, scrie ambele egalități pentru f(−x)f(-x) și compară-le.

  1. 1. Simetrie înseamnă paritate

    Domeniul R\mathbb R este simetric. Avem de răspuns la trei întrebări: este x3x^3 pară? este impară? poate o funcție să fie și pară, și impară?

  2. 2. Simetria față de OyOy

    Punctul (1,1)(1, 1) este pe grafic, pentru că f(1)=13=1f(1) = 1^3 = 1. Simetricul lui față de OyOy este (−1,1)(-1, 1). Dacă graficul ar fi simetric față de OyOy, ar trebui ca f(−1)=1f(-1) = 1.

    Verifică-te

    Cât este f(−1)f(-1)?
    Deci f(−1)≠f(1)f(-1) \ne f(1): punctul (−1,1)(-1, 1) nu este pe grafic. Un singur contraexemplu ajunge: ff nu este pară, iar graficul nu este simetric față de OyOy.

  3. 3. Simetria față de origine

    Pentru orice x∈Rx \in \mathbb R:
    f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^3 = -x^3 \\ &= -f(x) \end{aligned}
    Deci ff este impară, iar graficul este simetric față de origine: punctul (x,x3)(x, x^3) și punctul (−x,−x3)(-x, -x^3) sunt amândouă pe grafic.
    −2−112−3−2−1123Oxy
    f(x)=x3f(x) = x^3
    (1,1)(1, 1)
    (−1,−1)(-1, -1)
    (−1,1)(-1, 1)

    (1,1)(1, 1) și (−1,−1)(-1, -1) sunt simetrice față de OO și sunt pe grafic. Oglinditul în OyOy, (−1,1)(-1, 1) (cerc gol), nu este pe grafic.

  4. 4. Pară și impară în același timp?

    Să presupunem că f:D→Rf : D \to \mathbb R, cu DD simetric, este și pară, și impară. Atunci, pentru orice x∈Dx \in D, avem simultan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) și f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

    Verifică-te

    Ce rezultă din cele două egalități despre f(x)f(x)?
    Invers, funcția nulă f(x)=0f(x) = 0 verifică ambele condiții. Graficul ei este axa OxOx (sau o bucată din ea, simetrică față de OO), care este simetrică și față de OyOy, și față de origine.
Răspuns

Graficul lui f(x)=x3f(x) = x^3 nu este simetric față de OyOy (de exemplu f(−1)=−1≠1=f(1)f(-1) = -1 \ne 1 = f(1)), dar este simetric față de origine, pentru că f(−x)=−x3=−f(x)f(-x) = -x^3 = -f(x): ff este impară.

Da, există: funcția nulă, f(x)=0f(x) = 0, pe orice domeniu simetric. Este singura, pentru că din f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) și f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) rezultă f(x)=0f(x) = 0.