MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 5 · Este f(x)=4xf(x) = 4x convexă?

Reprezintă grafic funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=4xf(x) = 4x. Este această funcție convexă?

Reprezintă grafic funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=4xf(x) = 4x. Este această funcție convexă?

Graficul este o dreaptă, deci ajung două puncte. Pentru convexitate, alege două puncte AA și BB de pe grafic și uită-te unde se află graficul dintre ele față de segmentul ABAB.

  1. 1. Graficul

    Graficul unei funcții de forma f(x)=ax+bf(x) = ax + b este o dreaptă, deci este suficient să găsim două puncte ale lui. Pentru x=0x = 0 avem f(0)=0f(0) = 0: graficul trece prin origine.

    Verifică-te

    Care este punctul graficului cu abscisa x=1x = 1?
    −2−112−5−4−3−2−112345Oxy
    f(x)=4xf(x) = 4x
    AA
    BB

    Dreapta prin O(0,0)O(0, 0) și B(1,4)B(1, 4) este graficul lui ff. Pe ea este și A(−1,−4)A(-1, -4).

  2. 2. Ce înseamnă convexă

    Luăm, de exemplu, punctele A(−1,−4)A(-1, -4) și B(1,4)B(1, 4) de pe grafic.

    Verifică-te

    Unde se află porțiunea de grafic dintre AA și BB față de segmentul ABAB?

  3. 3. Concluzia

    Același lucru se întâmplă pentru orice două puncte AA și BB ale graficului: porțiunea dintre ele este segmentul ABAB. Condiția „sub segment sau pe el” este îndeplinită, deci ff este convexă pe R\mathbb R.

    Dar și condiția „deasupra segmentului sau pe el” este îndeplinită, deci ff este, în același timp, și concavă.

Răspuns
Graficul este dreapta care trece prin O(0,0)O(0, 0) și (1,4)(1, 4). Da, ff este convexă pe R\mathbb R: între oricare două puncte AA, BB ale graficului, graficul coincide cu segmentul ABAB. Din același motiv, ff este și concavă.