Manual · pagina 77

Exercițiul 6 · Distanța parcursă la coborâre

Un automobil coboară o pantă cu viteză constantă. Dacă

f(x)

este distanța parcursă în timpul

x

, este funcția

f

crescătoare sau descrescătoare?

Un automobil coboară o pantă cu viteză constantă. Dacă $f(x)$ este distanța parcursă în timpul $x$ , este funcția $f$ crescătoare sau descrescătoare?

Atenție la capcană: mașina coboară, dar ce se întâmplă cu distanța pe care a parcurs-o, pe măsură ce trece timpul?

1. Ce măsoară funcția
Cuvântul „coboară” te poate păcăli. Funcția nu dă înălțimea mașinii, ci distanța parcursă de la pornire: câți metri a mers mașina de-a lungul drumului.
Cu viteză constantă $v$ (din fizică, de la mișcarea uniformă), distanța parcursă în timpul $x$ este viteza ori timpul:
$f(x) = v \cdot x, \quad x \ge 0,\ v > 0$
Viteza $v$ este un număr pozitiv: indică doar cât de repede merge mașina, nu încotro, în sus sau în jos.
2. Raportul de variație
Raportul de variație (manual, p. 70)
Pentru $x_1 \ne x_2$ din domeniu, $R_f(x_1, x_2) = \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Dacă $R_f > 0$ oricare ar fi $x_1 \ne x_2$ , funcția este strict crescătoare; dacă $R_f < 0$ , strict descrescătoare.
$R_f(x_1, x_2) = \frac{v x_1 - v x_2}{x_1 - x_2}$
Verifică-te
Cât este $R_f(x_1, x_2)$ ?
3. Concluzia
Raportul de variație este viteza, un număr pozitiv, pentru orice $x_1 \ne x_2$ . Deci $f$ este strict crescătoare: cu cât trece mai mult timp, cu atât mașina a parcurs mai mult drum, chiar dacă merge la vale.
De exemplu, la $v = 20$ m/s: după $2$ s mașina a parcurs $40$ m, după $4$ s, $80$ m. Graficul urcă.
Ce scade, de fapt?
Ceea ce scade în timp este înălțimea mașinii (sau distanța rămasă până la capătul pantei). Aceea ar fi o funcție descrescătoare. Contează mereu ce mărime dă funcția.

Răspuns

f

este strict crescătoare:

f(x) = v \cdot x

v > 0

, iar raportul de variație este

R_f(x_1, x_2) = v > 0

. Distanța parcursă crește odată cu timpul, chiar dacă drumul coboară.