MateClar
← Capitol

Manual · pagina 77

Exercițiul 8 · Economiile Elenei

Elena își monitorizează bugetul reprezentat de suma inițială de 1 0001\,000 de lei în contul de economii și decide ca la un moment dat să își anuleze un abonament la o platformă de streaming care costă 3535 de lei pe lună. Funcția ff descrie suma rămasă în contul de economii (în lei) după xx luni de utilizare a abonamentului (presupunând că suma din cont nu este folosită în alt scop): f(x)=−35x+1000f(x) = -35x + 1000. Stabilește ce tip de monotonie (crescătoare sau descrescătoare) are funcția ff pe domeniul de definiție D=[0,∞)D = [0, \infty). Interpretează rezultatul în contextul dat și determină după câte luni de utilizare trebuie să facă anularea abonamentului, pentru ca în cont să-i rămână cel puțin jumătate din suma inițială.

Elena are 1 0001\,000 de lei în contul de economii și plătește din el un abonament de 3535 de lei pe lună. Suma rămasă după xx luni este f(x)=−35x+1000f(x) = -35x + 1000, f:[0,∞)→Rf : [0, \infty) \to \mathbb R. Stabilește monotonia lui ff, interpretează rezultatul și determină după câte luni trebuie să anuleze abonamentul, ca să-i rămână cel puțin jumătate din suma inițială.

Pentru monotonie, uită-te la semnul raportului de variație. Pentru ultima întrebare, scrie ca inecuație „suma rămasă este cel puțin jumătate din 1 0001\,000”.

  1. 1. Monotonia, cu raportul de variație

    f(x1)−f(x2)=(−35x1+1000)−(−35x2+1000)\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &\quad = (-35x_1 + 1000) \\ &\qquad - (-35x_2 + 1000) \end{aligned}
    Raportul de variație este această diferență împărțită la x1−x2x_1 - x_2.

    Verifică-te

    Cât este Rf(x1,x2)R_f(x_1, x_2), după simplificare?
    Raportul este negativ pentru orice x1≠x2x_1 \ne x_2 din [0,∞)[0, \infty), deci ff este strict descrescătoare pe DD.

  2. 2. Interpretarea

    Cu fiecare lună de abonament, suma din cont scade: din 1 0001\,000 de lei la început, f(0)=1000f(0) = 1000, pleacă 3535 de lei în fiecare lună. Raportul de variație, −35-35, este exact „câți lei pe lună” se schimbă suma, cu minus pentru că suma scade.

    Cu cât Elena amână anularea, cu atât îi rămân mai puțini bani.

    510152025302004006008001000Oxy
    ff
    y=500y = 500

    Suma din cont coboară cu 3535 de lei pe lună. Linia punctată marchează jumătate din suma inițială.

  3. 3. Cel puțin jumătate din sumă

    Jumătate din suma inițială înseamnă 500500 de lei. Vrem ca suma rămasă să fie cel puțin atât (inecuație de gradul întâi, din gimnaziu):
    −35x+1000≥500−35x≥−500x≤50035=1007\begin{aligned} -35x + 1000 &\ge 500 \\ -35x &\ge -500 \\ x &\le \frac{500}{35} = \frac{100}{7} \end{aligned}
    La împărțirea cu −35-35, număr negativ, sensul inegalității s-a schimbat. Ca număr zecimal, 1007≈14,29\frac{100}{7} \approx 14{,}29. Abonamentul se plătește pe luni întregi, deci xx este un număr natural.

    Verifică-te

    Care este cel mai mare număr de luni după care poate anula abonamentul?

  4. 4. Verificare

    Luni xxSuma f(x)f(x)Cel puțin 500500?
    1414510510da
    1515475475nu
    Pentru că ff este descrescătoare, după 1515 luni sau mai mult suma este și mai mică, deci tot sub 500500. Elena trebuie să anuleze abonamentul după cel mult 1414 luni.
Răspuns
ff este strict descrescătoare pe [0,∞)[0, \infty) (Rf=−35<0R_f = -35 < 0): în fiecare lună suma scade cu 3535 de lei. Din −35x+1000≥500-35x + 1000 \ge 500 rezultă x≤1007≈14,29x \le \frac{100}{7} \approx 14{,}29, deci Elena trebuie să anuleze abonamentul după cel mult 1414 luni (atunci îi rămân 510510 lei).