Manual · pagina 77

Exercițiul 9 · Monotonia lui $x^2 - 6x + 8$

Stabilește intervalele de monotonie pentru funcția

f : \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = x^2 - 6x + 8

Stabilește intervalele de monotonie pentru funcția $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 - 6x + 8$ .

Calculează raportul de variație

R_f(x_1, x_2)

: numărătorul se poate scrie ca

(x_1 - x_2)

înmulțit cu ceva. Apoi caută unde își schimbă semnul ce a rămas.

1. Ce se cere și cum
Intervale de monotonie și raportul de variație (manual, p. 70–71)
Intervalele de monotonie sunt intervalele pe care funcția este crescătoare, respectiv descrescătoare, cât mai mari cu putință.
Pentru $x_1 \ne x_2$ , $R_f(x_1, x_2) = \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Dacă $R_f > 0$ pentru orice $x_1 \ne x_2$ dintr-un interval, $f$ este strict crescătoare pe el; dacă $R_f < 0$ , strict descrescătoare.
Ca în problema rezolvată 3 b) de la p. 72, calculăm raportul de variație pentru două numere oarecare și îi studiem semnul. Diferența de valori conține $x_1^2 - x_2^2$ , o diferență de pătrate (din gimnaziu): $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$ .
2. Calculăm raportul de variație
$\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &\quad = (x_1^2 - 6x_1 + 8) \\ &\qquad - (x_2^2 - 6x_2 + 8) \\[4pt] &\quad = (x_1^2 - x_2^2) - 6(x_1 - x_2) \end{aligned}$
Verifică-te
Scoți factor comun $x_1 - x_2$ și simplifici. Cât este $R_f(x_1, x_2)$ ?
3. Unde își schimbă semnul raportul
Avem $R_f(x_1, x_2) = x_1 + x_2 - 6$ . Semnul lui depinde de suma $x_1 + x_2$ : raportul e negativ când suma e mai mică decât $6$ și pozitiv când e mai mare. Căutăm un interval în care orice două numere distincte au suma sub $6$ .
Verifică-te
Pe care interval este $R_f(x_1, x_2) < 0$ pentru orice două numere distincte $x_1, x_2$ din el, interval cât mai mare?
La fel, dacă $x_1, x_2 \ge 3$ și $x_1 \ne x_2$ , unul dintre ele e mai mare decât $3$ , deci $x_1 + x_2 > 6$ și $R_f > 0$ . Deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 3]$ și strict crescătoare pe $[3, +\infty)$ .
Intervalele nu se pot lărgi: oricât de puțin am trece de $3$ , de exemplu cu $x_1 = 2{,}9$ și $x_2 = 3{,}2$ , suma este $6{,}1 > 6$ , deci $R_f > 0$ , iar pe $(-\infty, 3{,}2]$ funcția n-ar mai fi descrescătoare.
4. Pe grafic, și o verificare
Restrângând pătratul (din gimnaziu):
$\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 6x + 9 - 1 \\ &= (x - 3)^2 - 1 \end{aligned}$
Valorile sunt cele mai mici acolo unde $(x - 3)^2$ e cel mai mic, adică în $x = 3$ , unde $f(3) = -1$ . Tabelul arată coborârea, apoi urcarea:
$x$ $f(x)$
$0$ $8$
$1$ $3$
$2$ $0$
$3$ $-1$
$4$ $0$
$5$ $3$
$6$ $8$
Graficul coboară până la $x = 3$ (porțiunea colorată pe $Ox$ ), apoi urcă.

$x$	$f(x)$
$0$	$8$
$1$	$3$
$2$	$0$
$3$	$-1$
$4$	$0$
$5$	$3$
$6$	$8$

Răspuns

f

este strict descrescătoare pe

(-\infty, 3]

și strict crescătoare pe

[3, +\infty)

, pentru că

R_f(x_1, x_2) = x_1 + x_2 - 6

este negativ pentru

x_1, x_2 \le 3

și pozitiv pentru

x_1, x_2 \ge 3

Exercițiul 9 · Monotonia lui x2−6x+8x^2 - 6x + 8x2−6x+8

Stabilește intervalele de monotonie pentru funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8f(x)=x2−6x+8.

1. Ce se cere și cum ✓

2. Calculăm raportul de variație ✓

3. Unde își schimbă semnul raportul ✓

4. Pe grafic, și o verificare ✓

Exercițiul 9 · Monotonia lui $x^2 - 6x + 8$

Stabilește intervalele de monotonie pentru funcția $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 - 6x + 8$ .

1. Ce se cere și cum

2. Calculăm raportul de variație

3. Unde își schimbă semnul raportul

4. Pe grafic, și o verificare