Manual · pagina 93

Exercițiul 1 · Imaginea unei funcții de gradul întâi

Determină imaginea funcției

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = -2x + 1

și stabilește dacă

f

este surjectivă.

Determină imaginea funcției $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = -2x + 1$ și stabilește dacă $f$ este surjectivă.

Un număr

y

este în imagine dacă îl „nimerește” un

x

din domeniu. Pentru un

y

oarecare, poți găsi

x

-2x + 1 = y

1. Ce înseamnă imaginea și surjectivitatea
Imagine, funcție surjectivă (manual, p. 56 și p. 90)
Imaginea $\operatorname{Im} f$ este mulțimea valorilor obținute efectiv: $y \in \operatorname{Im} f$ dacă ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție $x$ în domeniu.
$f\colon A \to B$ este surjectivă dacă $\operatorname{Im} f = B$ : pentru orice $y \in B$ , ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție $x \in A$ .
Deci luăm un număr $y$ și căutăm $x$ cu $-2x + 1 = y$ . Încercăm întâi un exemplu, $y = 5$ :
Verifică-te
Ce $x$ verifică $-2x + 1 = 5$ ?
2. Același calcul, pentru un $y$ oarecare
Repetăm pașii cu litera $y$ în locul lui $5$ :
$\begin{aligned} -2x + 1 &= y \\ -2x &= y - 1 \\ x &= \frac{1 - y}{2} \end{aligned}$
Verifică-te
Pentru ce numere $y \in \mathbb R$ ecuația $f(x) = y$ are soluție $x \in \mathbb R$ ?
Orice dreaptă orizontală taie graficul lui $f$ exact într-un punct: de exemplu $y = 3$ în $x = -1$ și $y = -1$ în $x = 1$ .
3. Imaginea și concluzia
Verificăm soluția găsită, pentru orice $y$ :
$f\left(\frac{1 - y}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1 - y}{2} + 1 = y$
Deci orice număr real este valoare a lui $f$ , adică $\operatorname{Im} f = \mathbb R$ .
Codomeniul este tot $\mathbb R$ , deci $\operatorname{Im} f$ este egală cu codomeniul și $f$ este surjectivă. Pe grafic: orice dreaptă orizontală $y = k$ taie graficul (manual, p. 90).

Răspuns

\operatorname{Im} f = \mathbb R

, egală cu codomeniul, deci

f

este surjectivă.