Manual · pagina 93

Exercițiul 11 · Curierii și zonele

O platformă de livrare de mâncare are într-un cartier 4 curieri disponibili, $C = \{c_1, c_2, c_3, c_4\}$ , care trebuie să acopere 3 zone distincte, $Z = \{z_1, z_2, z_3\}$ . Aplicația atribuie fiecare curier unei singure zone, prin funcția $a : C \to Z$ . Compania consideră că serviciul este operațional dacă în fiecare zonă există cel puțin un curier pentru a prelua comenzile.

a) Explică de ce starea operațională a serviciului este echivalentă cu surjectivitatea funcției $a$ .

b) Dacă aplicația folosește regula $a(c_i) = z_k$ , unde $k = i \,(\mathrm{mod}\ 3) + 1$ , verifică dacă serviciul este operațional.

a)Explică de ce starea operațională a serviciului este echivalentă cu surjectivitatea funcției $a$ .

Scrie definiția surjectivității pentru

a : C \to Z

, cu cuvintele problemei: cine este „

x

”, cine este „

y

”?

1. Traducem enunțul în limbajul funcțiilor
Domeniul lui $a$ este mulțimea curierilor, $C$ , iar codomeniul este mulțimea zonelor, $Z$ . $a(c) = z$ înseamnă „curierul $c$ lucrează în zona $z$ ”. Faptul că fiecare curier primește o singură zonă spune exact că $a$ este o funcție (manual, p. 56).
Condiția „operațional” vorbește însă despre zone: fiecare zonă $z$ trebuie să aibă cel puțin un curier.
Verifică-te
Cum se scrie, cu funcția $a$ , „în zona $z$ există cel puțin un curier”?
2. Este chiar definiția surjectivității
Funcție surjectivă (manual, p. 90)
$a : C \to Z$ este surjectivă dacă pentru orice $z \in Z$ ecuația $a(c) = z$ are cel puțin o soluție $c \in C$ , adică $\operatorname{Im} a = Z$ .
„Operațional” cere același lucru pentru fiecare zonă $z \in Z$ , deci cele două condiții coincid: serviciul este operațional $\Leftrightarrow$ $a$ este surjectivă. Pe diagramă: fiecare zonă primește cel puțin o săgeată. Este situația din exercițiul rezolvat 2 (manual, p. 91), cu serverele.
O atribuire neoperațională: $z_3$ nu primește nicio săgeată, deci $\operatorname{Im} a = \{z_1, z_2\} \ne Z$ , iar $a$ nu este surjectivă.
Verifică-te
Poate funcția $a$ să fie injectivă?

Răspuns

„Operațional” înseamnă că pentru fiecare zonă

z \in Z

există un curier

c \in C

a(c) = z

. Aceasta este exact definiția surjectivității lui

a : C \to Z

(

\operatorname{Im} a = Z

b)Regula $a(c_i) = z_k$ , unde $k = i \,(\mathrm{mod}\ 3) + 1$ : este serviciul operațional?

Calculează zona fiecăruia dintre cei 4 curieri, apoi vezi dacă a rămas vreo zonă goală.

1. Ce înseamnă regula
$i \,(\mathrm{mod}\ 3)$ este restul împărțirii lui $i$ la $3$ , ca în exemplul cu serverele din manual (p. 92). Resturile posibile sunt $0$ , $1$ , $2$ , deci $k$ este $1$ , $2$ sau $3$ : regula dă mereu o zonă din $Z$ .
Pentru $c_1$ : $1 = 0 \cdot 3 + 1$ , restul este $1$ , deci $k = 1 + 1 = 2$ și $a(c_1) = z_2$ .
Verifică-te
Cât este $a(c_3)$ ?
2. Toate atribuirile
Calculează la fel zonele lui $c_2$ (restul lui $2$ la $3$ ) și $c_4$ (restul lui $4$ la $3$ ).
Verifică-te
Ce zonă primește doi curieri?
$i$ restul la $3$ $k$ $a(c_i)$
$1$ $1$ $2$ $z_2$
$2$ $2$ $3$ $z_3$
$3$ $0$ $1$ $z_1$
$4$ $1$ $2$ $z_2$
Atribuirea dată de regulă: fiecare zonă primește cel puțin o săgeată.
3. Concluzia
$\begin{aligned} \operatorname{Im} a &= \{z_2, z_3, z_1, z_2\} \\ &= \{z_1, z_2, z_3\} = Z \end{aligned}$
Fiecare zonă are cel puțin un curier, deci $a$ este surjectivă și, după a), serviciul este operațional. Că $z_2$ are doi curieri nu contează: surjectivitatea cere „cel puțin unul”.

$i$	restul la $3$	$k$	$a(c_i)$
$1$	$1$	$2$	$z_2$
$2$	$2$	$3$	$z_3$
$3$	$0$	$1$	$z_1$
$4$	$1$	$2$	$z_2$

Răspuns

Da.

a(c_1) = z_2

a(c_2) = z_3

a(c_3) = z_1

a(c_4) = z_2

, deci

\operatorname{Im} a = Z

a

este surjectivă, iar serviciul este operațional.

Exercițiul 11 · Curierii și zonele

a)Explică de ce starea operațională a serviciului este echivalentă cu surjectivitatea funcției aaa.

1. Traducem enunțul în limbajul funcțiilor ✓

2. Este chiar definiția surjectivității ✓

b)Regula a(ci)=zka(c_i) = z_ka(ci​)=zk​, unde k=i (mod 3)+1k = i \,(\mathrm{mod}\ 3) + 1k=i(mod 3)+1: este serviciul operațional?

1. Ce înseamnă regula ✓

2. Toate atribuirile ✓

3. Concluzia ✓

a)Explică de ce starea operațională a serviciului este echivalentă cu surjectivitatea funcției $a$ .

1. Traducem enunțul în limbajul funcțiilor

2. Este chiar definiția surjectivității

b)Regula $a(c_i) = z_k$ , unde $k = i \,(\mathrm{mod}\ 3) + 1$ : este serviciul operațional?

1. Ce înseamnă regula

2. Toate atribuirile

3. Concluzia