MateClar
← Capitol

Manual · pagina 93

Exercițiul 2 · Aceeași lege pe Z\mathbb Z și pe N\mathbb N

Verifică surjectivitatea funcțiilor: f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb Z \to \mathbb Z, f(n)=n+1f(n) = n + 1; g ⁣:N→Ng\colon \mathbb N \to \mathbb N, g(n)=n+1g(n) = n + 1.

Funcția ff ⁣:Z→Zf\colon \mathbb Z \to \mathbb Z, f(n)=n+1f(n) = n + 1

Ia un întreg oarecare mm din codomeniu. Ce întreg trebuie să aduni cu 11 ca să obții mm?

  1. 1. Ce trebuie verificat

    Aici A=B=ZA = B = \mathbb Z. Încercăm un element al codomeniului, de exemplu −5-5: căutăm n∈Zn \in \mathbb Z cu n+1=−5n + 1 = -5.

    Verifică-te

    Ce întreg nn are imaginea f(n)=−5f(n) = -5?

  2. 2. Pentru un întreg oarecare mm

    Fie m∈Zm \in \mathbb Z oarecare. Ecuația f(n)=mf(n) = m este n+1=mn + 1 = m, cu soluția n=m−1n = m - 1.
    Diferența a doi întregi este tot un întreg, deci n=m−1∈Zn = m - 1 \in \mathbb Z este în domeniu. Verificare: f(m−1)=m−1+1=mf(m - 1) = m - 1 + 1 = m.
    Z\mathbb Z
    Z\mathbb Z
    ff
    …\dots
    −2-2
    −1-1
    00
    11
    …\dots
    …\dots
    −1-1
    00
    11
    22
    …\dots

    Fiecare întreg mm primește o săgeată, de la vecinul lui din stânga, m−1m - 1.

  3. 3. Concluzia

    Orice m∈Zm \in \mathbb Z are preimaginea m−1∈Zm - 1 \in \mathbb Z, deci Im⁡f=Z\operatorname{Im} f = \mathbb Z, egală cu codomeniul: ff este surjectivă.
Răspuns
ff este surjectivă: orice m∈Zm \in \mathbb Z este f(m−1)f(m - 1), cu m−1∈Zm - 1 \in \mathbb Z.

Funcția gg ⁣:N→Ng\colon \mathbb N \to \mathbb N, g(n)=n+1g(n) = n + 1

Legea este aceeași ca la ff, dar acum domeniul și codomeniul sunt N={0,1,2,… }\mathbb N = \{0, 1, 2, \dots\}. Care este cel mai mic număr pe care îl poate da n+1n + 1?

  1. 1. Ce trebuie verificat

    Aici A=B=N={0,1,2,3,… }A = B = \mathbb N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}. Pentru m∈Nm \in \mathbb N, ecuația g(n)=mg(n) = m este n+1=mn + 1 = m, cu soluția n=m−1n = m - 1. Întrebarea este dacă m−1m - 1 este număr natural.

    Verifică-te

    Ce obții pentru m=0m = 0, cel mai mic element al codomeniului?

  2. 2. Diagrama și imaginea

    N\mathbb N
    N\mathbb N
    gg
    00
    11
    22
    33
    …\dots
    00
    11
    22
    33
    44
    …\dots

    Toate săgețile ajung la numere ≥1\ge 1; elementul 00 din codomeniu rămâne fără săgeată.

    Pentru m≥1m \ge 1, numărul m−1m - 1 este natural, deci are preimagine. Singurul element „ratat” este 00:
    Im⁡g={1,2,3,… }=N∗\operatorname{Im} g = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb N^*

  3. 3. Concluzia

    Im⁡g=N∗≠N\operatorname{Im} g = \mathbb N^* \ne \mathbb N: elementul 0∈N0 \in \mathbb N nu are preimagine, deci gg nu este surjectivă.

    Comparație cu f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb Z \to \mathbb Z, f(n)=n+1f(n) = n + 1, care este surjectivă: legea este aceeași, dar mulțimile diferă. Pe Z\mathbb Z, preimaginea lui 00 este −1-1; pe N\mathbb N, −1-1 lipsește.

Răspuns
gg nu este surjectivă: 0∈N0 \in \mathbb N nu are preimagine (n+1=0n + 1 = 0 dă n=−1∉Nn = -1 \notin \mathbb N); Im⁡g=N∗\operatorname{Im} g = \mathbb N^*.