MateClar
← Capitol

Manual · pagina 93

Exercițiul 3 · O funcție fracție, surjectivă

Demonstrează că funcția f ⁣:R∖{−1}→R∖{2}f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}, f(x)=2xx+1f(x) = \dfrac{2x}{x + 1} este surjectivă. Verifică și cu ajutorul testului dreptelor orizontale (prin lectură grafică, cu ajutorul unei reprezentări digitale).

Demonstrează că funcția f ⁣:R∖{−1}→R∖{2}f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}, f(x)=2xx+1f(x) = \dfrac{2x}{x + 1} este surjectivă. Verifică și cu testul dreptelor orizontale (prin lectură grafică).

Pentru un y≠2y \ne 2 oarecare rezolvă 2xx+1=y\dfrac{2x}{x + 1} = y în necunoscuta xx. Apoi verifică dacă soluția este în domeniu, adică dacă poate fi −1-1.

  1. 1. Ce trebuie demonstrat

    Aici A=R∖{−1}A = \mathbb R \setminus \{-1\} și B=R∖{2}B = \mathbb R \setminus \{2\}. Luăm un y≠2y \ne 2 arbitrar și căutăm un x≠−1x \ne -1 cu
    2xx+1=y\dfrac{2x}{x + 1} = y
    La fel rezolvă manualul exercițiul rezolvat 1 de la p. 91, pentru altă funcție.

  2. 2. Rezolvăm ecuația în xx

    Cum x≠−1x \ne -1, numitorul x+1x + 1 nu este zero și putem înmulți cu el. Trecem termenii cu xx în stânga și dăm factor comun:
    2x=y(x+1)2x=yx+y2x−yx=yx(2−y)=y\begin{aligned} 2x &= y(x + 1) \\ 2x &= yx + y \\ 2x - yx &= y \\ x(2 - y) &= y \end{aligned}

    Verifică-te

    Știind că y≠2y \ne 2, ce valoare are xx?

  3. 3. Soluția este în domeniu?

    Mai rămâne de verificat că x=y2−yx = \dfrac{y}{2 - y} nu este −1-1, valoarea scoasă din domeniu.

    Verifică-te

    Există y≠2y \ne 2 pentru care y2−y=−1\dfrac{y}{2 - y} = -1?
    Verificare, pentru orice y≠2y \ne 2:
    f(y2−y)=2y2−yy2−y+1=2y2−y22−y=y\begin{aligned} f\left(\frac{y}{2 - y}\right) &= \frac{\frac{2y}{2 - y}}{\frac{y}{2 - y} + 1} \\[4pt] &= \frac{\frac{2y}{2 - y}}{\frac{2}{2 - y}} = y \end{aligned}

  4. 4. Testul dreptelor orizontale

    −6−5−4−3−2−11234−4−3−2−112345678Oxy
    ff
    y=2y = 2
    y=4y = 4

    Verticala punctată este x=−1x = -1. Dreapta y=4y = 4 taie graficul în x=−2x = -2, dreapta y=1y = 1 în x=1x = 1. Doar y=2y = 2 nu îl taie, dar 22 nu este în codomeniu.

    Graficul are două ramuri, separate de dreapta x=−1x = -1, și se apropie de dreapta y=2y = 2 fără să o atingă. Orice orizontală y=ky = k cu k≠2k \ne 2 taie una dintre ramuri, exact cum spune formula x=k2−kx = \frac{k}{2 - k}.

  5. 5. Concluzia

    Pentru orice y∈R∖{2}y \in \mathbb R \setminus \{2\}, numărul x=y2−yx = \dfrac{y}{2 - y} este în R∖{−1}\mathbb R \setminus \{-1\} și f(x)=yf(x) = y. Deci Im⁡f=R∖{2}\operatorname{Im} f = \mathbb R \setminus \{2\}, egală cu codomeniul: ff este surjectivă.
Răspuns
Pentru orice y≠2y \ne 2, x=y2−y≠−1x = \dfrac{y}{2 - y} \ne -1 verifică f(x)=yf(x) = y, deci ff este surjectivă. Pe grafic, orice orizontală y=ky = k, k≠2k \ne 2, taie graficul.