MateClar
← Capitol

Manual · pagina 93

Exercițiul 4 · Maximul a două numere

Studiază surjectivitatea funcției f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=max⁡(x, 1−x)f(x) = \max(x,\ 1 - x).

Studiază surjectivitatea funcției f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=max⁡(x, 1−x)f(x) = \max(x,\ 1 - x).

Scrie ff pe ramuri: când este xx mai mare decât 1−x1 - x? Apoi uită-te la cea mai mică valoare pe care o poate lua ff.

  1. 1. Scriem funcția pe ramuri

    max⁡(a,b)\max(a, b) este cel mai mare dintre numerele aa și bb. Ca să știm care formulă se aplică, comparăm cele două numere, xx și 1−x1 - x.

    Verifică-te

    Pentru ce xx avem x≥1−xx \ge 1 - x?
    f(x)={1−x,x<12x,x≥12f(x) = \begin{cases} 1 - x, & x < \frac12 \\[2pt] x, & x \ge \frac12 \end{cases}

  2. 2. Graficul

    Desenăm ambele drepte, y=xy = x și y=1−xy = 1 - x, punctat. Graficul lui ff este, în fiecare punct, „dreapta de sus”: se rup în punctul de intersecție V(12,12)V\left(\frac12, \frac12\right).
    −3−2−11234−3−2−112345Oxy
    y=xy = x
    y=1−xy = 1 - x
    ff
    y=−1y = -1
    VV

    Graficul lui ff (linia plină) are forma literei V, cu vârful în V(12,12)V\left(\frac12, \frac12\right). Dreapta y=−1y = -1 nu îl intersectează.

  3. 3. Imaginea, ramură cu ramură

    Pe ramura x<12x < \frac12 avem f(x)=1−xf(x) = 1 - x. Când xx parcurge numerele mai mici decât 12\frac12, ce valori ia 1−x1 - x?

    Verifică-te

    Ce mulțime de valori dă ramura x<12x < \frac12?
    Pe ramura x≥12x \ge \frac12 avem f(x)=xf(x) = x, deci valorile sunt exact numerele ≥12\ge \frac12: orice y≥12y \ge \frac12 este f(y)f(y). Reunim valorile celor două ramuri:
    Im⁡f=(12,∞)∪[12,∞)=[12,∞)\begin{aligned} \operatorname{Im} f &= \left(\tfrac12, \infty\right) \cup \left[\tfrac12, \infty\right) \\ &= \left[\tfrac12, \infty\right) \end{aligned}

  4. 4. Concluzia

    Im⁡f=[12,∞)≠R\operatorname{Im} f = \left[\frac12, \infty\right) \ne \mathbb R. De exemplu, y=0y = 0 nu are preimagine:

    pe ramura x≥12x \ge \frac12, x=0x = 0 nu respectă condiția; pe ramura x<12x < \frac12, 1−x=01 - x = 0 dă x=1x = 1, care nu respectă nici el condiția.

    Deci ff nu este surjectivă. Pe grafic, orice orizontală sub y=12y = \frac12, de exemplu y=−1y = -1, nu taie graficul.

Răspuns
Im⁡f=[12,∞)≠R\operatorname{Im} f = \left[\dfrac12, \infty\right) \ne \mathbb R, deci ff nu este surjectivă (de exemplu, 00 nu are preimagine).