Manual · pagina 93

Exercițiul 5 · Imagini și surjectivitate, pe grupe

(Activitate pe grupe) i) Calculați independent imaginea câte unei funcții, apoi discutați la nivelul grupei ce strategii ați utilizat, pentru $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ :

a) $f(x) = -2x + 1$ ;

b) $f(x) = 3x^2 + x - 2$ ;

c) $f(x) = ax^2 + bx + c$ , ${a \ne 0}$ ;

d) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ ;

e) $f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 0 \\ x^2 + x + 1, & x > 0 \end{cases}$ ;

f) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in \mathbb Q \\ 3x - 2, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$ .

ii) Colaborați pentru a justifica faptul că următoarele funcții sunt surjective:

a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 4x + 1$ ;

b) $f\colon \mathbb R \to [1, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 2x + 2$ ;

c) $f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$ ;

d) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ 3x, & x > 1 \end{cases}$ ;

e) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 3 \\ x^2 - 6x + 13, & x > 3 \end{cases}$ .

(În manual, cele două liste nu sunt numerotate; aici le notăm i) și ii).)

i) a) $f(x) = -2x + 1$

Un număr

y

este în imagine exact când ecuația

-2x + 1 = y

are o soluție reală. Rezolv-o în

x

1. Strategia, ecuația $f(x) = y$
Imaginea unei funcții (manual, p. 56 și p. 90)
$\operatorname{Im} f$ este mulțimea valorilor obținute efectiv: $y \in \operatorname{Im} f$ exact când ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție $x$ în domeniu. Dacă $\operatorname{Im} f$ este tot codomeniul, $f$ este surjectivă.
Luăm un $y \in \mathbb R$ oarecare și rezolvăm $-2x + 1 = y$ în necunoscuta $x$ .
Verifică-te
Ce soluție are ecuația $-2x + 1 = y$ ?
2. Imaginea
Soluția $x = \frac{1 - y}{2}$ există pentru orice $y$ real și este un număr real, deci este în domeniu. Așadar orice $y$ este valoare a lui $f$ :
$\operatorname{Im} f = \mathbb R.$
Imaginea este egală cu codomeniul, deci $f$ este și surjectivă. Pe grafic: dreapta $y = -2x + 1$ este oblică, așa că orice orizontală o taie.

Răspuns

\operatorname{Im} f = \mathbb R

(deci

f

este surjectivă).

i) b) $f(x) = 3x^2 + x - 2$

Scoate

3

factor comun din primii doi termeni și formează un pătrat perfect

\left(x + \dots\right)^2

. Un pătrat nu poate fi negativ.

1. Formăm un pătrat perfect
Strategia: scriem $f(x)$ ca „număr $\cdot$ pătrat + constantă” (restrângerea pătratului, din gimnaziu). Folosim $x^2 + \frac{x}{3} = \left(x + \frac16\right)^2 - \frac1{36}$ :
$\begin{aligned} f(x) &= 3\left(x^2 + \tfrac{x}{3}\right) - 2 \\ &= 3\left[\left(x + \tfrac16\right)^2 - \tfrac1{36}\right] - 2 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este constanta $3 \cdot \left(-\dfrac1{36}\right) - 2$ ?
$f(x) = 3\left(x + \tfrac16\right)^2 - \tfrac{25}{12}$
2. Ce valori se obțin
Pătratul este $\ge 0$ , deci $f(x) \ge -\frac{25}{12}$ , cu egalitate pentru $x = -\frac16$ .
Invers, pentru $y \ge -\frac{25}{12}$ , ecuația $f(x) = y$ devine $\left(x + \frac16\right)^2 = \frac13\left(y + \frac{25}{12}\right)$ , cu membrul drept $\ge 0$ , deci are soluția
$x = -\frac16 + \sqrt{\tfrac13\left(y + \tfrac{25}{12}\right)}$
Pentru $y < -\frac{25}{12}$ membrul drept este negativ și ecuația nu are soluții. Deci:
$\operatorname{Im} f = \left[-\tfrac{25}{12}, \infty\right)$
Graficul coboară până la vârful $V\left(-\frac16, -\frac{25}{12}\right)$ ; imaginea (marcată pe $Oy$ ) începe la $-\frac{25}{12} \approx -2{,}08$ .
Codomeniul este $\mathbb R$ , iar $-3$ , de exemplu, nu este în imagine: $f$ nu este surjectivă.

Răspuns

\operatorname{Im} f = \left[-\dfrac{25}{12}, \infty\right)

;

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

nu este surjectivă.

i) c) $f(x) = ax^2 + bx + c$ , ${a \ne 0}$

Fă la fel ca la b), dar cu litere: scoate

a

factor comun și formează pătratul

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2

. Semnul lui

a

decide dacă obții o valoare minimă sau una maximă.

1. Restrângem pătratul, cu litere
Ca la b), scoatem $a$ factor comun și completăm pătratul (din gimnaziu), folosind $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ :
$\begin{aligned} f(x) &= a\left(x^2 + \tfrac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{b^2}{4a} + c \end{aligned}$
Notăm, ca în gimnaziu, $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Verifică-te
Cum se scrie constanta $c - \dfrac{b^2}{4a}$ cu ajutorul lui $\Delta$ ?
$f(x) = a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{\Delta}{4a}$
2. Cazul $a > 0$
Pătratul este $\ge 0$ și $a > 0$ , deci $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \ge 0$ și $f(x) \ge -\frac{\Delta}{4a}$ , cu egalitate pentru $x = -\frac{b}{2a}$ .
Pentru $y \ge -\frac{\Delta}{4a}$ , ecuația $f(x) = y$ se scrie $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac1a\left(y + \frac{\Delta}{4a}\right) \ge 0$ , deci are soluție. Așadar:
$a > 0\colon\ \operatorname{Im} f = \left[-\tfrac{\Delta}{4a}, \infty\right)$
3. Cazul $a < 0$
Acum $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \le 0$ , pentru că un număr negativ înmulțit cu un pătrat nu poate fi pozitiv.
Verifică-te
Care este imaginea pentru $a < 0$ ?
Exemple: $x^2 - 2x$ ( $\Delta = 4$ ) are minimul $-\frac{4}{4} = -1$ ; $-x^2 + 2x + 1$ ( $\Delta = 8$ ) are maximul $-\frac{8}{-4} = 2$ .
Pentru $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , imaginea este o semidreaptă, nu tot $\mathbb R$ : un trinom de gradul al doilea nu este niciodată surjectiv pe $\mathbb R$ .

Răspuns

\begin{aligned} a > 0&\colon\ \operatorname{Im} f = \left[-\tfrac{\Delta}{4a}, \infty\right) \\ a < 0&\colon\ \operatorname{Im} f = \left(-\infty, -\tfrac{\Delta}{4a}\right] \end{aligned}

unde

\Delta = b^2 - 4ac

i) d) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

Rezolvă

f(x) = y

în

x

: după ce înmulțești cu

x^2 + 1

, ajungi la o ecuație de forma

x^2 = \dots

. Când are ea soluții?

1. Ecuația $f(x) = y$
Strategia: un $y$ este în imagine exact când $f(x) = y$ are soluție. Numitorul $x^2 + 1 \ge 1$ nu se anulează niciodată, deci înmulțim cu el:
$\begin{aligned} x^2 - 1 &= y(x^2 + 1) \\ x^2 - yx^2 &= y + 1 \\ x^2(1 - y) &= 1 + y \end{aligned}$
Verifică-te
Ce se întâmplă pentru $y = 1$ ?

2. Pentru $y \ne 1$

Împărțim la

1 - y \ne 0

și obținem

x^2 = \dfrac{1 + y}{1 - y}

. Un pătrat poate lua orice valoare

\ge 0

(și numai astfel de valori), deci ecuația are soluție exact când fracția este

\ge 0

: fie este

0

(

y = -1

), fie numărătorul și numitorul au același semn.

$y$	semnul lui $\frac{1 + y}{1 - y}$
${y < -1}$	$\dfrac{-}{+} < 0$
${y = -1}$	$0$
${-1 < y < 1}$	$\dfrac{+}{+} > 0$
${y > 1}$	$\dfrac{+}{-} < 0$

Verifică-te

Care este

\operatorname{Im} f

3. Graficul confirmă
Cel mai jos punct este $(0, -1)$ ; spre stânga și spre dreapta graficul urcă și se apropie de $y = 1$ , fără să o atingă.
Altă strategie, pentru discuția din grupă: scriem $f(x) = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$ . Cum $x^2 + 1 \ge 1$ , avem
$\begin{aligned} 0 < \tfrac{2}{x^2 + 1} &\le 2, \\ \text{deci } -1 \le f(x) &< 1 \end{aligned}$
Codomeniul este $\mathbb R$ , deci $f$ nu este surjectivă.

Răspuns

\operatorname{Im} f = [-1, 1)

;

f

nu este surjectivă pe

\mathbb R

i) e) $f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 0 \\ x^2 + x + 1, & x > 0 \end{cases}$

Află separat ce valori dă fiecare ramură, ținând cont de condiția ei pe

x

, apoi reunește-le.

1. Prima ramură, $x \le 0$
Imaginea unei funcții pe ramuri este reuniunea valorilor date de ramuri (așa procedează manualul în exercițiul rezolvat 3, p. 92). Pe prima ramură, ${2x - 1 = y}$ dă ${x = \frac{y + 1}{2}}$ , iar soluția trebuie să respecte condiția $x \le 0$ .
Verifică-te
Ce valori $y$ dă ramura $2x - 1$ , $x \le 0$ ?
2. A doua ramură, $x > 0$
Restrângem pătratul (din gimnaziu): $x^2 + x + 1 = \left(x + \frac12\right)^2 + \frac34$ . Ecuația $f(x) = y$ devine $\left(x + \frac12\right)^2 = y - \frac34$ , cu condiția $x > 0$ , adică $x + \frac12 > \frac12$ .
Verifică-te
Ce valori $y$ dă ramura $x^2 + x + 1$ , $x > 0$ ?
3. Reunim
$\operatorname{Im} f = (-\infty, -1] \cup (1, \infty)$
Prima ramură se termină în $(0, -1)$ (punct plin), a doua pornește din $(0, 1)$ (punct gol). Orizontalele dintre ele, ca $y = \frac12$ , nu taie graficul.
Valorile din $(-1, 1]$ lipsesc, de exemplu $0$ sau $\frac12$ . Codomeniul este $\mathbb R$ , deci $f$ nu este surjectivă.

Răspuns

\operatorname{Im} f = (-\infty, -1] \cup (1, \infty)

;

f

nu este surjectivă pe

\mathbb R

i) f) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in \mathbb Q \\ 3x - 2, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$

Ce fel de număr (rațional sau irațional) dă fiecare ramură? Pentru un

y

dat, alege ramura după tipul lui

y

1. Ramura pentru numere raționale
Dacă $x \in \mathbb Q$ , atunci $2x + 1 \in \mathbb Q$ : sume și produse de numere raționale sunt raționale. Deci prima ramură dă numai numere raționale.
Invers, pentru un $y \in \mathbb Q$ căutăm un $x$ rațional cu $2x + 1 = y$ . Exemplu, $y = 4$ :
Verifică-te
Ce $x$ are $f(x) = 4$ ?
În general, $x = \frac{y - 1}{2}$ este rațional când $y$ este rațional, și $f(x) = y$ . Deci prima ramură dă exact mulțimea $\mathbb Q$ .
2. Ramura pentru numere iraționale
Dacă $x$ este irațional, $3x - 2$ este irațional: altfel, din $3x - 2 = q \in \mathbb Q$ ar rezulta $x = \frac{q + 2}{3} \in \mathbb Q$ , fals. Pentru un $y$ irațional, de exemplu $y = \sqrt2$ , căutăm un $x$ irațional cu $3x - 2 = y$ .
Verifică-te
Ce $x$ are $f(x) = \sqrt2$ ?
În general, pentru $y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$ , $x = \frac{y + 2}{3}$ este irațional și $f(x) = y$ . Deci a doua ramură dă exact $\mathbb R \setminus \mathbb Q$ .
3. Reunim
$\operatorname{Im} f = \mathbb Q \cup (\mathbb R \setminus \mathbb Q) = \mathbb R$
Graficul nu se poate desena exact: punctele cu $x$ rațional stau pe prima dreaptă, cele cu $x$ irațional pe a doua, „împrăștiate” printre ele.
Imaginea este tot $\mathbb R$ , egală cu codomeniul, deci $f$ este chiar surjectivă.

Răspuns

\operatorname{Im} f = \mathbb Q \cup (\mathbb R \setminus \mathbb Q) = \mathbb R

, deci

f

este surjectivă.

ii) a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 4x + 1$

Pentru un

y

real oarecare, găsește

x

4x + 1 = y

1. Ce trebuie arătat
Funcție surjectivă (manual, p. 90)
$f\colon A \to B$ este surjectivă dacă pentru orice $y \in B$ ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție $x \in A$ .
Aici $A = B = \mathbb R$ . Un exemplu întâi: ce număr are imaginea $9$ ?
Verifică-te
Ce $x$ verifică $4x + 1 = 9$ ?
2. Pentru un $y$ oarecare
$4x + 1 = y \iff x = \frac{y - 1}{4}$
Pentru orice $y \in \mathbb R$ , numărul $x = \frac{y - 1}{4}$ este real și $f(x) = (y - 1) + 1 = y$ .
Deci orice $y$ are preimagine: $\operatorname{Im} f = \mathbb R$ și $f$ este surjectivă.

Răspuns

Pentru orice

y \in \mathbb R

, numărul real

x = \dfrac{y - 1}{4}

verifică

f(x) = y

, deci

f

este surjectivă.

ii) b) $f\colon \mathbb R \to [1, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 2x + 2$

Scrie

x^2 - 2x + 2

ca un pătrat plus o constantă. Pentru

y \ge 1

, ecuația

f(x) = y

devine „pătrat = număr

\ge 0

”.

1. Restrângem pătratul
Codomeniul este $[1, \infty)$ , deci trebuie să arătăm că orice $y \ge 1$ are preimagine. Ca să rezolvăm ușor $f(x) = y$ , formăm un pătrat perfect (din gimnaziu), pornind de la $x^2 - 2x$ .
Verifică-te
Cum se scrie $x^2 - 2x + 2$ ?
2. Rezolvăm $f(x) = y$ pentru $y \ge 1$
Mai întâi, $f$ chiar ia valori în codomeniu: $(x - 1)^2 \ge 0$ , deci $f(x) \ge 1$ . Acum fie $y \ge 1$ :
$\begin{aligned} (x - 1)^2 + 1 &= y \\ (x - 1)^2 &= y - 1 \\ x - 1 &= \pm\sqrt{y - 1} \end{aligned}$
Cum $y - 1 \ge 0$ , radicalul există, deci $x = 1 + \sqrt{y - 1}$ este o preimagine (și $1 - \sqrt{y - 1}$ este una). Orice ${y \in [1, \infty)}$ are preimagine: $f$ este surjectivă.
Orice orizontală $y = k$ cu $k \ge 1$ taie graficul; de exemplu $y = 2$ , în $x = 0$ și $x = 2$ .
Atenție: cu codomeniul $\mathbb R$ funcția nu ar fi surjectivă (de exemplu $0$ nu s-ar obține). Codomeniul $[1, \infty)$ a fost ales exact egal cu imaginea.

Răspuns

f(x) = (x - 1)^2 + 1 \ge 1

, iar pentru orice

y \ge 1

x = 1 + \sqrt{y - 1}

verifică

f(x) = y

. Deci

\operatorname{Im} f = [1, \infty)

și

f

este surjectivă.

ii) c) $f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$

Este funcția din exercițiul 3. Rezolvă

\frac{2x}{x + 1} = y

în

x

și verifică apoi că soluția nu poate fi

-1

1. Rezolvăm $f(x) = y$
Fie $y \ne 2$ . Căutăm $x \ne -1$ cu $\frac{2x}{x + 1} = y$ . Înmulțim cu $x + 1 \ne 0$ :
$\begin{aligned} 2x &= yx + y \\ x(2 - y) &= y \end{aligned}$
Verifică-te
De ce putem împărți acum la $2 - y$ ?
2. Soluția este în domeniu
Soluția este $x = \frac{y}{2 - y}$ . Dacă ar fi $-1$ , am avea $y = -(2 - y) = y - 2$ , adică $0 = -2$ , imposibil. Deci $x \in \mathbb R \setminus \{-1\}$ .
Verificare:
$f\left(\frac{y}{2 - y}\right) = \frac{\frac{2y}{2 - y}}{\frac{2}{2 - y}} = y$
Orice $y \ne 2$ are preimagine, deci $f$ este surjectivă. (Graficul și testul dreptelor orizontale sunt la exercițiul 3.)

Răspuns

Pentru orice

y \ne 2

x = \dfrac{y}{2 - y} \ne -1

verifică

f(x) = y

, deci

f

este surjectivă.

ii) d) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ 3x, & x > 1 \end{cases}$

Află ce valori dă fiecare ramură, ținând cont de condiția ei. Cele două mulțimi de valori acoperă împreună tot

\mathbb R

1. Atenție la ramura potrivită
Funcție surjectivă (manual, p. 90)
$f\colon A \to B$ este surjectivă dacă pentru orice $y \in B$ ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție $x \in A$ .
O soluție găsită pe o ramură contează doar dacă respectă condiția acelei ramuri. Exemplu: ce $x$ are $f(x) = 6$ ?
Verifică-te
Ce $x$ verifică $f(x) = 6$ ?
2. Valorile fiecărei ramuri
Ramura $x \le 1$ : $2x + 1 = y \iff x = \frac{y - 1}{2}$ , iar $\frac{y - 1}{2} \le 1 \iff y \le 3$ . Valori: $(-\infty, 3]$ .
Ramura $x > 1$ : $3x = y \iff x = \frac{y}{3}$ , iar $\frac{y}{3} > 1 \iff y > 3$ . Valori: $(3, \infty)$ .
$\operatorname{Im} f = (-\infty, 3] \cup (3, \infty) = \mathbb R$
Ramurile se întâlnesc în $(1, 3)$ : prima se oprește acolo (punct plin), a doua pornește de acolo. Graficul nu are „găuri” pe verticală, deci orice orizontală îl taie, de exemplu $y = 6$ în $x = 2$ .
Imaginea este tot codomeniul $\mathbb R$ , deci $f$ este surjectivă.

Răspuns

Ramura

x \le 1

dă valorile

(-\infty, 3]

, ramura

x > 1

dă

(3, \infty)

; reunite dau

\mathbb R

, deci

f

este surjectivă.

ii) e) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 3 \\ x^2 - 6x + 13, & x > 3 \end{cases}$

Prima ramură e simplă. Pentru a doua, restrânge pătratul:

x^2 - 6x + 13 = (x - \dots)^2 + \dots

, apoi folosește condiția

x > 3

1. Prima ramură, $x \le 3$
$x + 1 = y \iff x = y - 1$ , iar $y - 1 \le 3 \iff y \le 4$ . Prima ramură dă valorile $(-\infty, 4]$ ( $4 = f(3)$ se atinge).
2. A doua ramură, $x > 3$
Restrângem pătratul (din gimnaziu), pornind de la $x^2 - 6x$ .
Verifică-te
Cum se scrie $x^2 - 6x + 13$ ?
Pentru $x > 3$ , $(x - 3)^2 > 0$ , deci $f(x) > 4$ . Invers, pentru $y > 4$ :
$(x - 3)^2 = y - 4 > 0$ are soluția $x = 3 + \sqrt{y - 4}$ , care este $> 3$ , deci pe această ramură.
A doua ramură dă valorile $(4, \infty)$ .
3. Reunim
$\operatorname{Im} f = (-\infty, 4] \cup (4, \infty) = \mathbb R$
Ramurile se lipesc în $(3, 4)$ : dreapta urcă până acolo, apoi parabola urcă mai departe. Nicio orizontală nu ratează graficul.
Imaginea este tot codomeniul $\mathbb R$ , deci $f$ este surjectivă.

Răspuns

Ramura

x \le 3

dă

(-\infty, 4]

, ramura

x > 3

dă

(4, \infty)

, deoarece

x^2 - 6x + 13 = (x - 3)^2 + 4

. Reunite dau

\mathbb R

, deci

f

este surjectivă.

Exercițiul 5 · Imagini și surjectivitate, pe grupe

i) a)f(x)=−2x+1f(x) = -2x + 1f(x)=−2x+1

1. Strategia, ecuația f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

2. Imaginea ✓

i) b)f(x)=3x2+x−2f(x) = 3x^2 + x - 2f(x)=3x2+x−2

1. Formăm un pătrat perfect ✓

2. Ce valori se obțin ✓

i) c)f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c, a≠0{a \ne 0}a=0

1. Restrângem pătratul, cu litere ✓

2. Cazul a>0a > 0a>0 ✓

3. Cazul a<0a < 0a<0 ✓

i) d)f(x)=x2−1x2+1f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}f(x)=x2+1x2−1​

1. Ecuația f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

2. Pentru y≠1y \ne 1y=1 ✓

3. Graficul confirmă ✓

i) e)f(x)={2x−1,x≤0x2+x+1,x>0f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 0 \\ x^2 + x + 1, & x > 0 \end{cases}f(x)={2x−1,x2+x+1,​x≤0x>0​

1. Prima ramură, x≤0x \le 0x≤0 ✓

2. A doua ramură, x>0x > 0x>0 ✓

3. Reunim ✓

i) f)f(x)={2x+1,x∈Q3x−2,x∈R∖Qf(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in \mathbb Q \\ 3x - 2, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}f(x)={2x+1,3x−2,​x∈Qx∈R∖Q​

1. Ramura pentru numere raționale ✓

2. Ramura pentru numere iraționale ✓

3. Reunim ✓

ii) a)f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=4x+1f(x) = 4x + 1f(x)=4x+1

1. Ce trebuie arătat ✓

2. Pentru un yyy oarecare ✓

ii) b)f ⁣:R→[1,∞)f\colon \mathbb R \to [1, \infty)f:R→[1,∞), f(x)=x2−2x+2f(x) = x^2 - 2x + 2f(x)=x2−2x+2

1. Restrângem pătratul ✓

2. Rezolvăm f(x)=yf(x) = yf(x)=y pentru y≥1y \ge 1y≥1 ✓

ii) c)f ⁣:R∖{−1}→R∖{2}f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}f:R∖{−1}→R∖{2}, f(x)=2xx+1f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}f(x)=x+12x​

1. Rezolvăm f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

2. Soluția este în domeniu ✓

ii) d)f(x)={2x+1,x≤13x,x>1f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ 3x, & x > 1 \end{cases}f(x)={2x+1,3x,​x≤1x>1​

1. Atenție la ramura potrivită ✓

2. Valorile fiecărei ramuri ✓

ii) e)f(x)={x+1,x≤3x2−6x+13,x>3f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 3 \\ x^2 - 6x + 13, & x > 3 \end{cases}f(x)={x+1,x2−6x+13,​x≤3x>3​

1. Prima ramură, x≤3x \le 3x≤3 ✓

2. A doua ramură, x>3x > 3x>3 ✓

3. Reunim ✓

i) a) $f(x) = -2x + 1$

1. Strategia, ecuația $f(x) = y$

2. Imaginea

i) b) $f(x) = 3x^2 + x - 2$

1. Formăm un pătrat perfect

2. Ce valori se obțin

i) c) $f(x) = ax^2 + bx + c$ , ${a \ne 0}$

1. Restrângem pătratul, cu litere

2. Cazul $a > 0$

3. Cazul $a < 0$

i) d) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

1. Ecuația $f(x) = y$

2. Pentru $y \ne 1$

3. Graficul confirmă

i) e) $f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 0 \\ x^2 + x + 1, & x > 0 \end{cases}$

1. Prima ramură, $x \le 0$

2. A doua ramură, $x > 0$

3. Reunim

i) f) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in \mathbb Q \\ 3x - 2, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$

1. Ramura pentru numere raționale

2. Ramura pentru numere iraționale

3. Reunim

ii) a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 4x + 1$

1. Ce trebuie arătat

2. Pentru un $y$ oarecare

ii) b) $f\colon \mathbb R \to [1, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 2x + 2$

1. Restrângem pătratul

2. Rezolvăm $f(x) = y$ pentru $y \ge 1$

ii) c) $f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$

1. Rezolvăm $f(x) = y$

2. Soluția este în domeniu

ii) d) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ 3x, & x > 1 \end{cases}$

1. Atenție la ramura potrivită

2. Valorile fiecărei ramuri

ii) e) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 3 \\ x^2 - 6x + 13, & x > 3 \end{cases}$

1. Prima ramură, $x \le 3$

2. A doua ramură, $x > 3$

3. Reunim