Manual · pagina 93

Exercițiul 6 · Surjectivitate citită pe grafic

Cu ajutorul unor aplicații digitale, reprezintă grafic funcțiile următoare și stabilește prin lectură grafică dacă sunt surjective:

a) $f\colon \mathbb R \to [-1, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 1$ ;

b) $f\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ , $f(x) = 2x$ ;

c) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x > 0 \\ -2x + 3, & x \le 0 \end{cases}$ ;

d) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ \{x\}, & x \le 0 \end{cases}$ .

a) $f\colon \mathbb R \to [-1, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 1$

Desenează parabola. Care este cel mai de jos punct al ei? Codomeniul începe tocmai de acolo?

1. Ce citim pe grafic
Interpretare geometrică (manual, p. 90)
$f\colon A \to B$ este surjectivă dacă orice dreaptă orizontală $y = k$ , cu $k \in B$ , intersectează graficul în cel puțin un punct.
Aici trebuie să ne uităm la orizontalele $y = k$ cu $k \ge -1$ (codomeniul este $[-1, \infty)$ ). Mai întâi, cel mai de jos punct al graficului: $x^2 \ge 0$ , deci $f(x) = x^2 - 1 \ge -1$ , cu egalitate în $x = 0$ .
Parabola $y = x^2 - 1$ , cu vârful în $(0, -1)$ . Pe $Oy$ este marcat codomeniul $[-1, \infty)$ .
2. Orice orizontală din codomeniu taie graficul
Luăm o orizontală din codomeniu, de exemplu $y = 3$ , și căutăm punctele în care taie graficul.
Verifică-te
În ce puncte $x$ taie dreapta $y = 3$ graficul, adică $x^2 - 1 = 3$ ?
Orizontala $y = 3$ taie parabola în $x = -2$ și $x = 2$ ; orizontala $y = -1$ o atinge doar în vârf.
La fel pentru orice $k \ge -1$ : $x^2 = k + 1 \ge 0$ are soluția $x = \sqrt{k + 1}$ . Dreapta $y = -1$ atinge graficul în vârf, iar orizontalele mai sus de ea îl taie în două puncte.
Orizontalele de sub $y = -1$ nu taie graficul, dar valorile acelea nu sunt în codomeniu. Deci $\operatorname{Im} f = [-1, \infty)$ , egală cu codomeniul: $f$ este surjectivă.

Răspuns

f

este surjectivă:

\operatorname{Im} f = [-1, \infty)

, egală cu codomeniul; orice orizontală

y = k

k \ge -1

, taie parabola.

b) $f\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ , $f(x) = 2x$

Domeniul este

\mathbb Z

, deci graficul nu este o dreaptă, ci doar puncte izolate. Ce numere întregi pot fi de forma

2x

, cu

x

întreg?

1. Graficul este format din puncte
Pentru $x \in \mathbb Z$ calculăm $f(x) = 2x$ : $f(-2) = -4$ , $f(-1) = -2$ , $f(0) = 0$ , $f(1) = 2$ , $f(2) = 4$ . Graficul are doar punctele $(x, 2x)$ cu $x$ întreg, nu și ce e între ele.
Verifică-te
Are $1 \in \mathbb Z$ o preimagine, adică există $x \in \mathbb Z$ cu $2x = 1$ ?
2. O orizontală care nu taie graficul
Graficul lui $f$ sunt doar punctele. Dreapta punctată $y = 2x$ e doar ghid. Orizontala $y = 1$ trece printre puncte fără să atingă vreunul.
Valorile lui $f$ sunt doar numerele pare: $\operatorname{Im} f = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\} = 2\mathbb Z$ .
Orizontala $y = 1$ (și orice $y = k$ cu $k$ impar) nu întâlnește niciun punct al graficului, deși $1 \in \mathbb Z$ este în codomeniu. Deci $f$ nu este surjectivă.

Răspuns

f

nu este surjectivă:

\operatorname{Im} f

conține doar numerele pare, iar de exemplu

1 \in \mathbb Z

nu are preimagine (orizontala

y = 1

nu taie graficul).

c) $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x > 0 \\ -2x + 3, & x \le 0 \end{cases}$

Desenează cele două semidrepte, cu atenție la capetele din

x = 0

. Cât de jos coboară graficul?

1. Cele două ramuri
Fiecare ramură este o bucată de dreaptă. Ne interesează unde se termină în $x = 0$ : ramura $-2x + 3$ conține $x = 0$ (punct plin), ramura $x + 2$ nu (punct gol).
Verifică-te
Ce valori ia ramura $x + 2$ , pentru $x > 0$ ?
Ramura $-2x + 3$ , $x \le 0$ , este descrescătoare și pornește din $f(0) = 3$ în sus spre stânga: $-2x + 3 = y$ dă $x = \frac{3 - y}{2} \le 0$ , adică $y \ge 3$ . Valori: $[3, \infty)$ .
2. Lectura grafică
Graficul stă deasupra nivelului $2$ , fără să-l atingă: punctul $(0, 2)$ este gol. Orizontala $y = 1$ nu îl taie.
Reunim: $\operatorname{Im} f = (2, \infty) \cup [3, \infty) = (2, \infty)$ .
Orizontala $y = 1$ (sau orice $y = k$ cu $k \le 2$ ) nu taie graficul, deși $1 \in \mathbb R$ este în codomeniu. Deci $f$ nu este surjectivă.

Răspuns

f

nu este surjectivă:

\operatorname{Im} f = (2, \infty) \ne \mathbb R

; de exemplu orizontala

y = 1

nu taie graficul.

d) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ \{x\}, & x > 0 \end{cases}$

Partea fracționară ia valori doar între

0

și

1

. Prima ramură,

x + 1

pentru

x \le 0

, până unde urcă? Caută o orizontală mai sus de amândouă.

1. Ramura $x + 1$ , pentru $x \le 0$
$x + 1 = y$ dă $x = y - 1$ , iar condiția $x \le 0$ devine $y \le 1$ . Prima ramură dă valorile $(-\infty, 1]$ ; cea mai mare este $f(0) = 1$ .
2. Ramura $\{x\}$ , pentru $x > 0$
Partea fracționară (manual, p. 59)
$\{x\} = x - [x]$ , unde $[x]$ este partea întreagă ( $[x] \le x < [x] + 1$ ). De exemplu $\{2{,}7\} = 0{,}7$ .
Verifică-te
Ce valori ia $\{x\}$ pentru $x > 0$ ?
3. Lectura grafică
Ramura din stânga urcă până la $(0, 1)$ ; în dreapta, partea fracționară face „dinți” între $0$ și $1$ . Orizontala $y = 2$ nu taie graficul.
Reunim: $\operatorname{Im} f = (-\infty, 1] \cup [0, 1) = (-\infty, 1]$ .
Nicio orizontală $y = k$ cu $k > 1$ , de exemplu $y = 2$ , nu taie graficul, deși $2 \in \mathbb R$ este în codomeniu. Deci $f$ nu este surjectivă.

Răspuns

\operatorname{Im} f = (-\infty, 1] \ne \mathbb R

, deci

f

nu este surjectivă (de exemplu,

2

nu are preimagine).

Exercițiul 6 · Surjectivitate citită pe grafic

a)f ⁣:R→[−1,∞)f\colon \mathbb R \to [-1, \infty)f:R→[−1,∞), f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1f(x)=x2−1

1. Ce citim pe grafic ✓

2. Orice orizontală din codomeniu taie graficul ✓

b)f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb Z \to \mathbb Zf:Z→Z, f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x

1. Graficul este format din puncte ✓

2. O orizontală care nu taie graficul ✓

c)f(x)={x+2,x>0−2x+3,x≤0f(x) = \begin{cases} x + 2, & x > 0 \\ -2x + 3, & x \le 0 \end{cases}f(x)={x+2,−2x+3,​x>0x≤0​

1. Cele două ramuri ✓

2. Lectura grafică ✓

d)f(x)={x+1,x≤0{x},x>0f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ \{x\}, & x > 0 \end{cases}f(x)={x+1,{x},​x≤0x>0​

1. Ramura x+1x + 1x+1, pentru x≤0x \le 0x≤0 ✓

2. Ramura {x}\{x\}{x}, pentru x>0x > 0x>0 ✓

3. Lectura grafică ✓

a) $f\colon \mathbb R \to [-1, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 1$

1. Ce citim pe grafic

2. Orice orizontală din codomeniu taie graficul

b) $f\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ , $f(x) = 2x$

1. Graficul este format din puncte

2. O orizontală care nu taie graficul

c) $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x > 0 \\ -2x + 3, & x \le 0 \end{cases}$

1. Cele două ramuri

2. Lectura grafică

d) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ \{x\}, & x > 0 \end{cases}$

1. Ramura $x + 1$ , pentru $x \le 0$

2. Ramura $\{x\}$ , pentru $x > 0$

3. Lectura grafică