MateClar
← Capitol

Manual · pagina 93

Exercițiul 8 · Surjectivitate cu parametrul mm

(Activitate în pereche) Studiați surjectivitatea funcțiilor f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, m∈Rm \in \mathbb R.

a) f(x)={3x−2,x≥12x+m,x<1f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \ge 1 \\ 2x + m, & x < 1 \end{cases};

b) f(x)={3x−2,x≤1mx+2,x>1f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ mx + 2, & x > 1 \end{cases};

c) f(x)={x2,x≤−1mx+1,x>−1f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le -1 \\ mx + 1, & x > -1 \end{cases}.

a)f(x)={3x−2,x≥12x+m,x<1f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \ge 1 \\ 2x + m, & x < 1 \end{cases}

Află ce valori ia fiecare ramură. Funcția e surjectivă dacă cele două mulțimi de valori, puse împreună, acoperă tot R\mathbb R.

  1. 1. Ce valori ia fiecare ramură

    Ramura x≥1x \ge 1. 3x−23x - 2 este crescătoare (coeficientul lui xx este pozitiv) și în x=1{x = 1} valorează 3−2=13 - 2 = 1. Orice y≥1y \ge 1 este atins: x=y+23≥1x = \frac{y + 2}3 \ge 1. Deci ramura dă valorile [1,+∞)[1, +\infty).

    Ramura x<1x < 1. 2x+m2x + m este tot crescătoare, iar când xx se apropie de 11, valoarea se apropie de 2+m2 + m.

    Verifică-te

    Ce valori ia 2x+m2x + m pentru x<1x < 1?

  2. 2. Când nu rămâne niciun gol

    Imaginea este reuniunea (−∞, m+2)∪[1,+∞)(-\infty,\ m + 2) \cup [1, +\infty). Prima mulțime vine „de jos”, a doua pornește de la 11 în sus. Ca să nu rămână un gol între ele, prima trebuie să ajungă măcar până la 11.
    −2−1123−4−3−2−11234Oxy
    2x−42x - 4
    3x−23x - 2
    y=−1y = -1

    Pentru m=−4{m = -4} rămâne un gol: valorile din [−2,1)[-2, 1) nu sunt atinse. Dreapta y=−1y = -1 nu taie graficul.

    Verifică-te

    Pentru ce valori ale lui mm acoperă reuniunea tot R\mathbb R?

  3. 3. Cazul limită și concluzia

    −2−1123−4−3−2−11234Oxy
    2x−12x - 1
    3x−23x - 2

    Pentru m=−1{m = -1} cerculețul gol al ramurii din stânga, (1,1)(1, 1), este acoperit de punctul plin al ramurii din dreapta. Orice dreaptă orizontală taie graficul.

    Pentru m≥−1m \ge -1: m+2≥1m + 2 \ge 1, deci (−∞, m+2)∪[1,+∞)=R(-\infty,\ m + 2) \cup [1, +\infty) = \mathbb R și ff este surjectivă.

    Pentru m<−1m < -1: orice yy cu m+2≤y<1m + 2 \le y < 1 nu are preimagine, deci ff nu este surjectivă.

Răspuns
ff este surjectivă exact pentru m∈[−1,+∞)m \in [-1, +\infty).

b)f(x)={3x−2,x≤1mx+2,x>1f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ mx + 2, & x > 1 \end{cases}

Prima ramură acoperă o parte din R\mathbb R; vezi ce parte rămâne pentru a doua. Apoi discută după semnul lui mm, ca în exercițiul rezolvat 3 de la p. 92.

  1. 1. Ce acoperă prima ramură

    Ca la a), Im⁡f\operatorname{Im} f este reuniunea valorilor celor două ramuri (manual, p. 92). Pe x≤1x \le 1, 3x−23x - 2 este crescătoare, iar în x=1{x = 1} valorează 11.

    Verifică-te

    Ce valori ia 3x−23x - 2 pentru x≤1x \le 1?
    Deci a doua ramură trebuie să acopere tot intervalul (1,+∞)(1, +\infty): valori oricât de mari, dar și valori foarte apropiate de 11.

  2. 2. A doua ramură, după semnul lui mm

    Pe x>1x > 1, valoarea lui mx+2mx + 2 pornește (fără să-l atingă) de la m⋅1+2=m+2m \cdot 1 + 2 = m + 2. Ca în manual (p. 92), discutăm după semnul lui mm:
    mmValorile lui mx+2mx + 2, x>1x > 1
    m>0{m > 0}crește: (m+2, +∞)(m + 2,\ +\infty)
    m=0{m = 0}constantă: doar 22
    m<0{m < 0}scade: (−∞, m+2)(-\infty,\ m + 2)
    Pentru m=0{m = 0} și pentru m<0m < 0 valorile rămân sub 22 sau egale cu 22, deci de exemplu y=3{y = 3} nu este atins. Mai rămâne cazul m>0m > 0, în care valorile pornesc de la m+2>2m + 2 > 2.

    Verifică-te

    Pentru m>0m > 0, care valoare nu este atinsă de ff?

  3. 3. Concluzia

    −2−1123−4−3−2−112345Oxy
    3x−23x - 2
    x+2x + 2
    y=2{y = 2}

    Pentru m=1{m = 1}: între punctul plin (1,1)(1, 1) și cerculețul gol (1,3)(1, 3) rămâne un gol. Dreapta y=2{y = 2} nu taie graficul.

    Pentru orice mm rămâne o valoare fără preimagine: y=2{y = 2} dacă m≠0m \ne 0 (pentru m<0m < 0 valorile celei de-a doua ramuri sunt sub m+2<2m + 2 < 2), respectiv y=3{y = 3} dacă m=0{m = 0}.

    Așadar nu există m∈Rm \in \mathbb R pentru care ff să fie surjectivă. Pe scurt: ca să acopere tot (1,+∞)(1, +\infty), a doua ramură ar trebui să fie crescătoare (m>0m > 0) și să pornească de la cel mult 11 (m+2≤1m + 2 \le 1, adică m≤−1m \le -1). Cele două condiții nu pot fi îndeplinite simultan.

Răspuns
Nu există m∈Rm \in \mathbb R pentru care ff să fie surjectivă.

c)f(x)={x2,x≤−1mx+1,x>−1f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le -1 \\ mx + 1, & x > -1 \end{cases}

Ramura x2x^2 dă numai valori pozitive. Cine trebuie să acopere numerele negative, și în ce sens trebuie să meargă?

  1. 1. Ce acoperă ramura x2x^2

    Ca la a) și b), Im⁡f\operatorname{Im} f este reuniunea valorilor celor două ramuri (manual, p. 92). Începem cu ramura x2x^2, pentru x≤−1x \le -1.

    Verifică-te

    Ce valori ia x2x^2 pentru x≤−1x \le -1?
    Rămân de acoperit numerele mai mici decât 11, inclusiv toate numerele negative. Asta e treaba ramurii mx+1mx + 1.

  2. 2. A doua ramură, după semnul lui mm

    Pe x>−1x > -1, mx+1mx + 1 pornește (fără să-l atingă) de la m⋅(−1)+1=1−mm \cdot (-1) + 1 = 1 - m. Discutăm după semnul lui mm (manual, p. 92). Pentru m>0m > 0 funcția crește, deci ia valorile (1−m, +∞)(1 - m,\ +\infty); pentru m=0{m = 0} ia doar valoarea 11.

    Verifică-te

    Pentru m<0m < 0, ce valori ia mx+1mx + 1 când x>−1x > -1?

  3. 3. Reuniunea, în cele trei cazuri

    mmIm⁡f\operatorname{Im} f
    m<0{m < 0}(−∞, 1−m)∪[1,+∞)=R(-\infty,\ 1 - m) \cup [1, +\infty) = \mathbb R
    m=0{m = 0}{1}∪[1,+∞)=[1,+∞)\{1\} \cup [1, +\infty) = [1, +\infty)
    m>0{m > 0}(1−m, +∞)(1 - m,\ +\infty)
    Pentru m<0m < 0 avem 1−m>11 - m > 1, deci cele două mulțimi se suprapun și nu rămâne niciun gol. Pentru m≥0m \ge 0 lipsesc numerele mici, de exemplu toate numerele negative.
    −3−2−1123−2−112345Oxy
    x2x^2
    −x+1-x + 1

    Pentru m=−1{m = -1}: ramura −x+1-x + 1 coboară de la (−1,2)(-1, 2) oricât de jos, iar x2x^2 urcă de la (−1,1)(-1, 1). Orice dreaptă orizontală taie graficul.

    Verifică-te

    Pentru m=1{m = 1}, care valoare nu are preimagine?

  4. 4. Concluzia

    −3−2−1123−2−112345Oxy
    x2x^2
    x+1x + 1
    y=−1y = -1

    Pentru m=1{m = 1} graficul stă tot deasupra axei OxOx: dreapta y=−1y = -1 nu îl taie.

    ff este surjectivă exact pentru m<0m < 0. Pentru m≥0m \ge 0 nu e surjectivă, de exemplu y=−m−1<0y = -m - 1 < 0 nu are preimagine.
Răspuns
ff este surjectivă exact pentru m∈(−∞,0)m \in (-\infty, 0).