Manual · pagina 93

Exercițiul 9 · Exemple de la $[0, 1]$ la $[2, 4]$

a) Dă exemplu de funcție $f$ surjectivă și neinjectivă, în cazul $f : [0, 1] \to [2, 4]$ .

b) Dă exemplu de funcție nesurjectivă și injectivă, în cazul $g : [0, 1] \to [2, 4]$ .

a) $f : [0, 1] \to [2, 4]$ surjectivă și neinjectivă

Desenează: graficul trebuie să treacă prin toate înălțimile de la

2

4

, dar măcar o înălțime să fie atinsă de două ori. Gândește-te la un „acoperiș”.

1. Ce trebuie să facă exemplul
Căutăm o funcție definită pe $[0, 1]$ , cu valori în $[2, 4]$ , care să aibă două proprietăți:
surjectivă (manual, p. 90): orice $y \in [2, 4]$ este atins, adică ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție în $[0, 1]$ ;
neinjectivă: negația definiției injectivității (manual, p. 85).
Verifică-te
Ce înseamnă că $f$ nu este injectivă?
Idee: graficul urcă de la înălțimea $2$ la $4$ (așa trece prin toate înălțimile), apoi coboară înapoi la $2$ (așa fiecare înălțime e atinsă de două ori). Un „acoperiș” cu vârful la mijloc.
2. Construim exemplul
Urcarea: dreapta prin $(0, 2)$ și $\left(\frac12, 4\right)$ . Pe o jumătate de unitate urcă $2$ , deci panta este $\frac{2}{1/2} = 4$ , iar legea este $4x + 2$ . Coborârea: dreapta prin $\left(\frac12, 4\right)$ și $(1, 2)$ .
Verifică-te
Ce lege are dreapta care coboară de la $\left(\frac12, 4\right)$ la $(1, 2)$ ?
$f(x) = \begin{cases} 4x + 2, & x \in \left[0, \frac12\right] \\[2pt] -4x + 6, & x \in \left(\frac12, 1\right] \end{cases}$
Graficul trece prin toate înălțimile din $[2, 4]$ (colorate pe $Oy$ ). Dreapta orizontală $y = 3$ , punctată, îl taie de două ori.
3. Verificăm cele două proprietăți
Valorile sunt în $[2, 4]$ : pe $\left[0, \frac12\right]$ , $4x + 2$ crește de la $2$ la $4$ ; pe $\left(\frac12, 1\right]$ , $-4x + 6$ scade de la aproape $4$ la $2$ . Deci $f$ chiar este o funcție de la $[0, 1]$ la $[2, 4]$ .
Surjectivă: pentru orice $y \in [2, 4]$ , $x = \frac{y - 2}4$ este în $\left[0, \frac12\right]$ și $4x + 2 = y$ .
Verifică-te
Ce preimagini are $y = \frac52$ ?
Neinjectivă: de exemplu $f(0) = 2 = f(1)$ , deși $0 \ne 1$ . Pe scurt, $f(x) = 4 - |4x - 2|$ , aceeași funcție scrisă cu modul.

Răspuns

De exemplu

$f(x) = \begin{cases} 4x + 2, & x \in \left[0, \frac12\right] \\[2pt] -4x + 6, & x \in \left(\frac12, 1\right] \end{cases}$

Este surjectivă ( $\operatorname{Im} f = [2, 4]$ ) și nu e injectivă ( $f(0) = f(1) = 2$ ). Orice alt exemplu corect este la fel de bun.

b) $g : [0, 1] \to [2, 4]$ nesurjectivă și injectivă

O funcție care tot urcă este injectivă. Ai grijă doar să nu urce până la

4

1. Ideea exemplului
De data aceasta vrem invers: numere diferite să aibă imagini diferite (injectivă, manual, p. 85), dar să rămână măcar o valoare din $[2, 4]$ neatinsă (nesurjectivă, manual, p. 90).
Un grafic care urcă tot timpul nu atinge nicio înălțime de două ori. Dacă pornește de la $2$ și urcă „încet”, nu ajunge la $4$ . Cea mai simplă alegere: $g(x) = x + 2$ .
Verifică-te
Ce valori ia $g(x) = x + 2$ pentru $x \in [0, 1]$ ?
Valorile sunt în $[2, 4]$ , deci $g$ este într-adevăr o funcție de la $[0, 1]$ la $[2, 4]$ .
2. Verificăm cele două proprietăți
Injectivă: din $g(x_1) = g(x_2)$ rezultă $x_1 + 2 = x_2 + 2$ , deci $x_1 = x_2$ .
Verifică-te
Care număr din codomeniul $[2, 4]$ nu are preimagine prin $g$ ?
Imaginea lui $g$ , colorată pe $Oy$ , este $[2, 3]$ : graficul nu urcă peste $3$ . Dreapta $y = 3{,}5$ nu îl taie.
Nesurjectivă: $\operatorname{Im} g = [2, 3] \ne [2, 4]$ ; toate valorile din $(3, 4]$ rămân neatinse.

Răspuns

De exemplu

g(x) = x + 2

: este injectivă, dar

\operatorname{Im} g = [2, 3] \ne [2, 4]

, deci nu e surjectivă (de exemplu

y = 4

nu are preimagine). Orice alt exemplu corect este la fel de bun.

Exercițiul 9 · Exemple de la [0,1][0, 1][0,1] la [2,4][2, 4][2,4]

a)f:[0,1]→[2,4]f : [0, 1] \to [2, 4]f:[0,1]→[2,4] surjectivă și neinjectivă

1. Ce trebuie să facă exemplul ✓

2. Construim exemplul ✓

3. Verificăm cele două proprietăți ✓

b)g:[0,1]→[2,4]g : [0, 1] \to [2, 4]g:[0,1]→[2,4] nesurjectivă și injectivă

1. Ideea exemplului ✓

2. Verificăm cele două proprietăți ✓

Exercițiul 9 · Exemple de la $[0, 1]$ la $[2, 4]$

a) $f : [0, 1] \to [2, 4]$ surjectivă și neinjectivă

1. Ce trebuie să facă exemplul

2. Construim exemplul

3. Verificăm cele două proprietăți

b) $g : [0, 1] \to [2, 4]$ nesurjectivă și injectivă

1. Ideea exemplului

2. Verificăm cele două proprietăți