Propoziții și operații logice

Care dintre aceste enunțuri pot fi adevărate sau false? Gândește-te la fiecare înainte să te uiți la tabelul de mai jos.

1. „$3 + 5 = 8$”

2. „Numărul $\pi$ este rațional”

3. „Cât este ceasul?”

4. „El este un elev silitor”

5. „$x + 2 = 5$”

Doar primele două pot fi judecate. ${3 + 5 = 8}$ e adevărat. $\pi$ nu este rațional, deci al doilea enunț e fals.

O întrebare nu e nici adevărată, nici falsă. La „El este un elev silitor” nu știm cine e „el”. Iar „$x + 2 = 5$” e adevărat pentru $x = 3$ și fals pentru $x = 4$. Ne întoarcem la un enunț ca el, „$x + 2 = 9$”, în lecția despre predicate.

Un enunț care e sigur adevărat sau sigur fals se numește propoziție. Atenție: aici „propoziție” are sensul din logică, nu cel de la gramatică.

Pornim de la propoziția „15 este divizibil cu 2”. E falsă (0), pentru că 15 e impar.

Adăugăm un „nu”: „15 nu este divizibil cu 2”. Acum e adevărată (1).

Un „nu” pus corect întoarce valoarea: o propoziție adevărată devine falsă, iar una falsă devine adevărată.

Un bec e legat la o baterie prin două întrerupătoare puse unul după altul, pe același fir (în serie). Curentul trece doar dacă ambele întrerupătoare sunt închise. E destul ca unul să fie deschis, și becul e stins.

Notăm cu $p$ propoziția „întrerupătorul 1 e închis”, iar cu $q$ propoziția „întrerupătorul 2 e închis”. Becul arde exact când „$p$ și $q$” e adevărată. Propoziția „$p$ și $q$” se numește conjuncția lui $p$ și $q$ și se notează $p \wedge q$.

Acum legăm cele două întrerupătoare unul lângă altul, pe două fire separate (în paralel). Curentul are două drumuri, deci becul arde dacă cel puțin unul dintre întrerupătoare e închis.

Cu aceleași $p$ și $q$, becul arde exact când „$p$ sau $q$” e adevărată. Propoziția „$p$ sau $q$” se numește disjuncția lui $p$ și $q$ și se notează $p \vee q$.

Promisiunea e încălcată doar când ai luat 10 și n-ai primit bicicleta.

Dacă n-ai luat 10, mama nu a promis nimic pentru cazul acesta. Fie că îți cumpără bicicleta, fie că nu, nu a mințit.

Partea de după „dacă” se numește ipoteza (aici $p$: „iei 10 la teză”). Partea de după „atunci” se numește concluzia (aici $q$: „îți cumpăr o bicicletă”). Propoziția „dacă $p$, atunci $q$” se numește implicația și se notează $p \to q$. Se citește „$p$ implică $q$”.

Scrie 1 în loc de „da” și de „respectată”, 0 în loc de „nu” și de „încălcată”. Primul tabel devine tabelul implicației: promisiune respectată = 1, promisiune încălcată = 0.

Manualul dă un exemplu care sună ciudat: propoziția „Dacă $3 = 4$, atunci eu, Ionescu, sunt Napoleon” este adevărată. (Numele e acolo ca să știm cine e „eu”: ai văzut la primul pas că un enunț cu „el” nu e propoziție.)

De ce? Ipoteza, $3 = 4$, e falsă. E ca la promisiune când n-ai luat 10: promisiunea nu a fost pusă la încercare, deci nu a fost încălcată. Uită-te în tabelul lui $p \to q$: pe ultimele două rânduri ipoteza e 0, iar implicația e 1, oricare ar fi concluzia.

Manualul spune că „$\sqrt{10} > 3$ dacă și numai dacă $10 \ge 9$” e adevărată. Ambele părți sunt adevărate: $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ e mai mare decât 3, iar $10 \ge 9$.

Un al doilea exemplu din manual: „$2 + 3 < 0$ dacă și numai dacă 2 este impar” e tot adevărată. Ambele părți sunt false, deci au aceeași valoare. Nu contează că nu au nicio legătură între ele.

Propoziția „$p$ dacă și numai dacă $q$” se numește echivalența lui $p$ și $q$ și se notează $p \leftrightarrow q$. E adevărată exact când $p$ și $q$ au aceeași valoare.

Propoziția este un enunț care este fie adevărat, fie fals, dar niciodată ambele în același timp. Valoarea de adevăr a propoziției $p$ se notează $v(p)$, iar $v(p) \in \{0, 1\}$: 1 pentru adevărat, 0 pentru fals.

Manualul exprimă această proprietate prin două principii:

Principiul terțului exclus: orice propoziție e adevărată sau falsă; o a treia variantă nu există.

Principiul necontradicției: nicio propoziție nu e adevărată și falsă în același timp.