Cum raționăm: direct, prin contrapoziție, prin absurd

Ion, Dinu, Nelu și Anton au mașini de culori diferite: albă, galbenă, roșie și neagră. Știm că:

1. Anton și Ion nu au mașină roșie.

2. Dinu nu are mașină neagră.

3. Cel cu mașina neagră i-a făcut un portret lui Nelu și îl va cunoaște pe Ion. Deci nu e nici Nelu, nici Ion.

Trecem fiecare indiciu în tabel, cu ✗ acolo unde nu se poate:

„Toate pisicile zboară. Tom este pisică. Deci Tom zboară.” (Tom e motanul din „Tom și Jerry”.)

Raționamentul e corect: dacă toate pisicile ar zbura și Tom ar fi pisică, Tom chiar ar zbura. Concluzia decurge din premise.

Dar prima premisă e falsă, iar concluzia iese și ea falsă.

Știm teorema: „Dacă $AB = AC$, atunci $\triangle ABC$ e isoscel.” Măsurăm și găsim $AB = 8$ și $AC = 8$. Deci $\triangle ABC$ e isoscel.

Avem o implicație adevărată $p \to q$ și am verificat că $p$ e adevărată. Atunci și $q$ e adevărată. Acesta e raționamentul direct.

P3: „Dacă era brutarul, ușa rămânea deschisă.” P4: Ușa a fost găsită închisă.

Concluzia lui P3 nu are loc. Dacă ar fi fost brutarul, ușa ar fi fost deschisă. Deci nu a fost brutarul.

Am folosit contrapoziția lui P3: „Dacă ușa nu era deschisă, atunci nu era brutarul.” Din lecția trecută știi că ea are aceeași valoare ca P3.

„Nu există un cel mai mare număr natural.” Cum arăți asta? Nu poți verifica toate numerele.

Presupunem contrariul (adică negația concluziei — nu „contrara” din lecția trecută): există un cel mai mare număr natural. Îl numim $N$.

Dar $N + 1$ e tot număr natural, și ${N + 1 > N}$. Deci $N$ nu e cel mai mare. Contradicție!

Presupunerea ne-a dus la ceva imposibil, deci e falsă. Rămâne adevărat ce voiam: nu există un cel mai mare număr natural.

Avem trei drepte distincte $a$, $b$, $c$, în același plan. Știm că $a \parallel b$ și $b \parallel c$. Vrem să arătăm că $a \parallel c$.

Presupunem contrariul: $a$ și $c$ nu sunt paralele. Fiind în același plan, se taie într-un punct $A$.

Atunci prin $A$ trec două drepte diferite paralele cu $b$: $a$ și $c$. Iar $A$ nu e pe $b$, pentru că $a$ nu are niciun punct comun cu $b$.

Acum o întrebare veche din 1742. Poți scrie orice număr par mai mare decât 2 ca sumă de două numere prime?

$4 = 2 + 2$, $\ 8 = 3 + 5$, $\ 20 = 7 + 13$.

Calculatoarele au verificat toate numerele pare până la $4 \cdot 10^{18}$, dar nimeni nu a demonstrat că e adevărat pentru toate. E conjectura lui Goldbach.

A. Raționamentul direct (Modus Ponens) se bazează pe tautologia ${[p \wedge (p \to q)] \to q}$.

B. Raționamentul prin contrapoziție (Modus Tollens) se bazează pe tautologia ${(p \to q) \leftrightarrow (\overline{q} \to \overline{p})}$. Forma inferenței din pasul 4 este ${[(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p}}$: dacă știm $p \to q$ și $q$ e falsă, atunci $p$ e falsă.

C. Raționamentul prin reducere la absurd: ca să demonstrăm $p \to q$, presupunem că $\overline{q}$ e adevărată și ajungem la o contradicție ${r \wedge \overline{r}}$, care e mereu falsă.

Paradoxul este o afirmație care, deși pare să urmeze un raționament corect, duce la o concluzie care se contrazice singură.

Conjectura pare adevărată, dar încă nu e demonstrată sau infirmată.

O propoziție indecidabilă nu poate fi nici demonstrată, nici infirmată din axiomele unui sistem. Kurt Gödel a arătat în 1931 că orice sistem de axiome necontradictoriu și suficient de bogat pentru aritmetică are astfel de propoziții.