MateClar
← Capitol

Axiome, definiții și teoreme

Pasul 1 din 8

Regulile jocului

La șah, „nebunul se mută doar pe diagonală”. De ce? Nimeni nu demonstrează asta. Acceptăm regula ca să putem juca.

Și matematica are reguli de joc. Un enunț pe care îl acceptăm ca adevărat fără demonstrație se numește axiomă.

Pe axiome se sprijină tot restul: definițiile spun ce înseamnă un cuvânt nou, iar teoremele se demonstrează pornind de la ce știm deja.

O definiție bună: categoria + ce o face unică

„Pătratul este un dreptunghi cu toate laturile egale.”

Definiția are două părți. Întâi spune din ce categorie mare face parte pătratul: e un dreptunghi. Aceasta e genul proxim. Apoi spune ce îl deosebește de celelalte dreptunghiuri: are toate laturile egale. Aceasta e diferența specifică.

Verifică-te

În „Rombul este un paralelogram cu două laturi consecutive congruente”, care este genul proxim?

Teorema: dacă (ipoteza)… atunci (concluzia)

„Dacă doua˘ unghiuri sunt drepte\textcolor{#2d7fc4}{\textbf{două unghiuri sunt drepte}}, atunci ele sunt congruente\textcolor{#2b8a3e}{\textbf{ele sunt congruente}}.”

De ce e adevărat? Un unghi drept are 90∘90^\circ. Două unghiuri drepte au amândouă 90∘90^\circ, deci au aceeași măsură, adică sunt congruente.

ParteaSe numește
după „dacă”: două unghiuri sunt drepteipoteza\textcolor{#2d7fc4}{\textbf{ipoteza}}
după „atunci”: ele sunt congruenteconcluzia\textcolor{#2b8a3e}{\textbf{concluzia}}
Un enunț adevărat pe care îl demonstrăm pornind de la axiome, definiții și teoreme deja demonstrate se numește teoremă. Cele mai multe teoreme au forma „dacă pp, atunci qq”, adică p→qp \to q.

Suficient și necesar

DD: perechile de unghiuri drepte. CC: perechile de unghiuri congruente. Teorema din pasul trecut spune că DD stă în CC:
30∘30^\circ
90∘90^\circ
C
D

În DD: două unghiuri de 90∘90^\circ. În CC, dar nu în DD: două unghiuri de 30∘30^\circ.

Să fie drepte ajunge ca să fie congruente: ipoteza e o condiție suficientă. Dar nu e obligatoriu: și două unghiuri de 30∘30^\circ sunt congruente.

Concluzia e obligatorie: în afara lui CC nu e nicio pereche de unghiuri drepte. E o condiție necesară.

La fel: „Ca un număr să se termine în 0, e necesar să fie par.” Nu ajunge însă: 4 e par, dar nu se termină în 0.

Verifică-te

„4∣x{4 \mid x}” pentru „xx e par” este o condiție…

Dacă și numai dacă: teoreme de caracterizare

„Un patrulater convex este paralelogram dacă și numai dacă unghiurile sale opuse sunt congruente.”

Aici merg ambele sensuri. Orice paralelogram are unghiurile opuse congruente. Și invers: un patrulater convex cu unghiurile opuse congruente e paralelogram.

pătratrombdreptunghi
trapezpatrulater oarecare
P = U
patrulatere convexe

PP: paralelogramele. UU: patrulaterele cu unghiurile opuse congruente. Cele două cercuri coincid.

Condiția e și necesară, și suficientă. O astfel de teoremă se numește teoremă de caracterizare: ne dă o altă cale de a recunoaște un paralelogram.

Patru propoziții dintr-una

Pornim de la pp: „x=yx = y” și qq: „x2=y2x^2 = y^2”, cu x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Teorema p→qp \to q e directa. Schimbăm locul părților, (q→p){(q \to p)}, le negăm, (p‾→q‾){(\overline{p} \to \overline{q})}, sau facem amândouă, (q‾→p‾){(\overline{q} \to \overline{p})}:
PropozițiaValoare
Directa: x=y→x2=y2{x = y \to x^2 = y^2}adevărată (1)
Reciproca: x2=y2→x=y{x^2 = y^2 \to x = y}falsă (0)
Contrara: x≠y→x2≠y2{x \ne y \to x^2 \ne y^2}falsă (0)
Contrapoziția: x2≠y2→x≠y{x^2 \ne y^2 \to x \ne y}adevărată (1)
Pentru x=−2x = -2, y=2y = 2: x≠yx \ne y, dar x2=4=y2{x^2 = 4 = y^2}. Acest exemplu strică și reciproca, și contrara.
De ce funcționează?

De ce funcționează?

În M={1,2,…,12}M = \{1, 2, \dots, 12\}: AA = multiplii lui 4, BB = numerele pare. Teorema „dacă 4∣x{4 \mid x}, atunci xx e par” spune că AA stă în BB.
22661010
44881212
11335577991111
B
A
M

Colorat: în afara lui BB (numerele impare). Nimic de acolo nu e în AA.

Tot ce e în afara lui BB e și în afara lui AA: „dacă xx nu e par, atunci nu e multiplu de 4”. Asta e contrapoziția. Spune același lucru ca teorema, deci are mereu aceeași valoare ca teorema directă.

Reciproca și contrara se strică amândouă în BB, dar nu în AA (inelul dintre cele două cercuri): 2, 6 și 10 sunt pare, dar nu sunt multipli de 4. Contrara e contrapoziția reciprocei, deci ele două au mereu aceeași valoare.

Verifică-te

Care este contrapoziția propoziției „Dacă un număr se termină în 0, atunci se divide cu 5”?
Cum scrie manualul

Cum scrie manualul

Axioma este un enunț pe care îl admitem ca adevărat fără demonstrație. Definiția introduce o noțiune nouă, prin genul proxim și diferența specifică. Teorema este o propoziție adevărată, demonstrată pe baza axiomelor, definițiilor sau altor teoreme.

Majoritatea teoremelor au forma p→qp \to q sau p↔qp \leftrightarrow q. În p→qp \to q, ipoteza pp este o condiție suficientă pentru qq, iar concluzia qq este o condiție necesară pentru pp. Când (p→q)∧(q→p){(p \to q) \wedge (q \to p)}, scriem p↔qp \leftrightarrow q și citim „pp dacă și numai dacă qq” (teoremă de caracterizare).

Propoziția derivatăFormaAceeași valoare ca teorema?
reciprocaq→pq \to pnu mereu
contrarap‾→q‾\overline{p} \to \overline{q}nu mereu
contrapozițiaq‾→p‾\overline{q} \to \overline{p}da
Dacă reciproca e adevărată, p→qp \to q se numește teoremă directă, iar q→pq \to p, teoremă reciprocă. Manualul scrie și ⇒\Rightarrow pentru →\to, ⇔\Leftrightarrow pentru ↔\leftrightarrow, iar negația ca p‾\overline{p}, ¬p\neg p, Lpp sau „non pp”.