Exerciții propuse · 5

a) ${(p \wedge q) \vee r}$

Scrie deasupra fiecărei litere 1 sau 0.

1. Ce ni se cere
Știm valorile literelor: $p = 1$ , $q = 1$ , $r = 0$ .
Trebuie să afli dacă propoziția ${(p \wedge q) \vee r}$ e adevărată (1) sau falsă (0).
Primul pas: pune în locul fiecărei litere valoarea ei.
$\begin{gathered} (p \wedge q) \vee r \\ \downarrow \\ (1 \wedge 1) \vee 0 \end{gathered}$
Cele două reguli de aici
„Și” ( $\wedge$ ) e adevărat doar când ambele părți sunt adevărate.
„Sau” ( $\vee$ ) e adevărat când măcar o parte e adevărată.
2. Calculează din interior spre exterior
Întâi paranteza: ${1 \wedge 1 = 1}$ , pentru că ambele părți sunt adevărate.
Apoi „sau”-ul din afară: ${1 \vee 0}$ .
$p$ $q$ $r$ ${p \wedge q}$ ${(p \wedge q) \vee r}$
1 1 0 1 1
Verifică-te
Cât face ${1 \vee 0}$ ?

$p$	$q$	$r$	${p \wedge q}$	${(p \wedge q) \vee r}$
1	1	0	1	1

Răspuns

Propoziția

{(p \wedge q) \vee r}

este adevărată (1).

b) ${(p \vee r)} \wedge {(q \vee r)}$

Scrie deasupra fiecărei litere 1 sau 0. Câte paranteze ai de calculat?

1. Ce ni se cere
Știm valorile literelor: $p = 1$ , $q = 1$ , $r = 0$ .
Trebuie să afli dacă propoziția ${(p \vee r)} \wedge {(q \vee r)}$ e adevărată (1) sau falsă (0).
Pune în locul fiecărei litere valoarea ei:
$\begin{gathered} (p \vee r) \wedge (q \vee r) \\ \downarrow \\ (1 \vee 0) \wedge (1 \vee 0) \end{gathered}$
Sunt două paranteze, legate de un „și”. Calculezi fiecare paranteză separat, apoi „și”-ul dintre ele.
2. Calculează din interior spre exterior
Prima paranteză: ${p \vee r = 1 \vee 0}$ .
A doua paranteză: ${q \vee r = 1 \vee 0}$ . E la fel ca prima, pentru că $q$ are aceeași valoare ca $p$ .
Verifică-te
Cât face ${1 \vee 0}$ ?
$p$ $q$ $r$ ${p \vee r}$ ${q \vee r}$
1 1 0 1 1
Acum „și”-ul dintre paranteze: ${1 \wedge 1 = 1}$ . Ambele părți sunt adevărate, deci și propoziția e adevărată.
$p$ $q$ $r$ ${(p \vee r)} \wedge {(q \vee r)}$
1 1 0 1

$p$	$q$	$r$	${p \vee r}$	${q \vee r}$
1	1	0	1	1

$p$	$q$	$r$	${(p \vee r)} \wedge {(q \vee r)}$
1	1	0	1

Răspuns

Propoziția

{(p \vee r)} \wedge {(q \vee r)}

este adevărată (1).

c) ${(\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r}}$

Cât valorează

\overline{p}

dacă

p

e adevărată?

1. Ce ni se cere
Știm valorile literelor: $p = 1$ , $q = 1$ , $r = 0$ .
Trebuie să afli dacă propoziția ${(\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r}}$ e adevărată (1) sau falsă (0).
Atenție: aici fiecare literă are o bară deasupra. Bara înseamnă „non”, adică negația.
Negația întoarce valoarea
Dacă $p = 1$ , atunci ${\overline{p} = 0}$ . Dacă $p = 0$ , atunci ${\overline{p} = 1}$ .
2. Întâi negațiile
Bara se calculează prima: întoarce valoarea fiecărei litere.
$p$ $q$ $r$ $\overline{p}$ $\overline{q}$ $\overline{r}$
1 1 0 0 0 1
Verifică-te
$r$ e falsă. Cât valorează $\overline{r}$ ?
Acum pune aceste valori în propoziție:
$\begin{gathered} (\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r} \\ \downarrow \\ (0 \wedge 0) \vee 1 \end{gathered}$
3. Calculează din interior spre exterior
Paranteza: ${0 \wedge 0 = 0}$ . Un „și” are nevoie de ambele părți adevărate, iar aici niciuna nu e.
„Sau”-ul din afară: ${0 \vee 1 = 1}$ . Ajunge ca o parte să fie adevărată.
$p$ $q$ $r$ ${\overline{p} \wedge \overline{q}}$ ${(\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r}}$
1 1 0 0 1

$p$	$q$	$r$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$\overline{r}$
1	1	0	0	0	1

$p$	$q$	$r$	${\overline{p} \wedge \overline{q}}$	${(\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r}}$
1	1	0	0	1

Răspuns

Propoziția

{(\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r}}

este adevărată (1).

d) ${(p \to q) \wedge r}$

Uită-te la ce stă lângă

\wedge

și cât valorează.

1. Ce ni se cere
Știm valorile literelor: $p = 1$ , $q = 1$ , $r = 0$ .
Trebuie să afli dacă propoziția ${(p \to q) \wedge r}$ e adevărată (1) sau falsă (0).
Pune în locul fiecărei litere valoarea ei:
$\begin{gathered} (p \to q) \wedge r \\ \downarrow \\ (1 \to 1) \wedge 0 \end{gathered}$
Implicația
${p \to q}$ („dacă $p$ , atunci $q$ ”) e falsă într-un singur caz: ${1 \to 0}$ . În rest e adevărată.
2. Calculează din interior spre exterior
Paranteza: ${1 \to 1 = 1}$ . Nu e cazul ${1 \to 0}$ , deci implicația e adevărată.
Apoi „și”-ul din afară: ${1 \wedge 0}$ .
$p$ $q$ $r$ ${p \to q}$ ${(p \to q) \wedge r}$
1 1 0 1 0
Verifică-te
Cât face ${1 \wedge 0}$ ?
Observă: din cauza lui $r = 0$ , rezultatul ar fi fost 0 oricât ar fi ieșit paranteza.

$p$	$q$	$r$	${p \to q}$	${(p \to q) \wedge r}$
1	1	0	1	0

Răspuns

Propoziția

{(p \to q) \wedge r}

este falsă (0).

e) ${(p \to r) \to q}$

Paranteza întâi.

1. Ce ni se cere
Știm valorile literelor: $p = 1$ , $q = 1$ , $r = 0$ .
Trebuie să afli dacă propoziția ${(p \to r) \to q}$ e adevărată (1) sau falsă (0).
Aici sunt două implicații: una în paranteză și una în afara ei.
$\begin{gathered} (p \to r) \to q \\ \downarrow \\ (1 \to 0) \to 1 \end{gathered}$
Implicația
${a \to b}$ e falsă într-un singur caz: ${1 \to 0}$ (din adevăr ajungi la fals). În rest e adevărată.
2. Întâi paranteza
Paranteza este ${p \to r}$ , adică ${1 \to 0}$ .
Verifică-te
Cât face ${1 \to 0}$ ?
$p$ $q$ $r$ ${p \to r}$
1 1 0 0
3. Apoi implicația din afară
Acum propoziția a devenit ${0 \to 1}$ .
Nu e cazul ${1 \to 0}$ , deci implicația e adevărată: ${0 \to 1 = 1}$ .
$p$ $q$ $r$ ${p \to r}$ ${(p \to r)} \to q$
1 1 0 0 1
Nu te opri la paranteză
Paranteza e falsă, dar asta nu face toată propoziția falsă. Paranteza e doar prima parte a implicației din afară.

$p$	$q$	$r$	${p \to r}$
1	1	0	0

$p$	$q$	$r$	${p \to r}$	${(p \to r)} \to q$
1	1	0	0	1

Răspuns

Propoziția

{(p \to r) \to q}

este adevărată (1).

f) ${(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}$

Scrie deasupra fiecărei litere 1 sau 0. Când e falsă o implicație?

1. Ce ni se cere
Știm valorile literelor: $p = 1$ , $q = 1$ , $r = 0$ . Aici $r$ nu apare, deci ne trebuie doar $p$ și $q$ .
Trebuie să afli dacă propoziția ${(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}$ e adevărată (1) sau falsă (0).
$\begin{gathered} (p \to q) \leftrightarrow (q \to p) \\ \downarrow \\ (1 \to 1) \leftrightarrow (1 \to 1) \end{gathered}$
Cele două reguli de aici
Implicația ${a \to b}$ e falsă doar în cazul ${1 \to 0}$ .
Echivalența ${a \leftrightarrow b}$ e adevărată când cele două părți au aceeași valoare.
2. Calculează din interior spre exterior
Paranteza din stânga: ${1 \to 1 = 1}$ .
Paranteza din dreapta: ${1 \to 1 = 1}$ .
Rămâne echivalența ${1 \leftrightarrow 1}$ .
$p$ $q$ ${p \to q}$ ${q \to p}$
1 1 1 1
Verifică-te
Cât face ${1 \leftrightarrow 1}$ ?
$p$ $q$ ${(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}$
1 1 1
3. E adevărată mereu? Nu!
Propoziția a ieșit adevărată pentru valorile date. Dar dacă $p$ și $q$ ar avea alte valori?
Încearcă $p = 1$ și $q = 0$ :
$p$ $q$ ${p \to q}$ ${q \to p}$
1 0 0 1
Acum ${p \to q = 1 \to 0 = 0}$ , dar ${q \to p = 0 \to 1 = 1}$ . Părțile diferă, deci echivalența dă ${0 \leftrightarrow 1 = 0}$ .
$p$ $q$ ${(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}$
1 0 0
Așadar ${q \to p}$ (reciproca) nu spune același lucru ca ${p \to q}$ . Aici au ieșit egale doar pentru că $p$ și $q$ aveau aceeași valoare.

$p$	$q$	${p \to q}$	${q \to p}$
1	1	1	1

$p$	$q$	${(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}$
1	1	1

$p$	$q$	${p \to q}$	${q \to p}$
1	0	0	1

$p$	$q$	${(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}$
1	0	0

Răspuns

Propoziția

{(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}

este adevărată (1).

g) ${(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}$

Forma din dreapta,

{\overline{q} \to \overline{p}}

, ai mai văzut-o în lecția „Tautologii și negații corecte”.

1. Ce ni se cere
Știm valorile literelor: $p = 1$ , $q = 1$ , $r = 0$ . Aici $r$ nu apare, deci ne trebuie doar $p$ și $q$ .
Trebuie să afli dacă propoziția ${(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}$ e adevărată (1) sau falsă (0).
În paranteza din dreapta literele au bară, deci începem cu negațiile.
2. Întâi negațiile
Bara întoarce valoarea: $q = 1$ , deci ${\overline{q} = 0}$ . La fel, $p = 1$ , deci ${\overline{p} = 0}$ .
$p$ $q$ $\overline{q}$ $\overline{p}$
1 1 0 0
$\begin{gathered} (p \to q) \leftrightarrow (\overline{q} \to \overline{p}) \\ \downarrow \\ (1 \to 1) \leftrightarrow (0 \to 0) \end{gathered}$
3. Calculează parantezele, apoi echivalența
Paranteza din stânga: ${1 \to 1 = 1}$ . Paranteza din dreapta: ${0 \to 0}$ .
Verifică-te
Cât face ${0 \to 0}$ ?
$p$ $q$ ${p \to q}$ ${\overline{q} \to \overline{p}}$
1 1 1 1
Ambele paranteze valorează 1, deci echivalența dă ${1 \leftrightarrow 1 = 1}$ .
$p$ $q$ ${(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}$
1 1 1
4. Și pentru alte valori?
Unele propoziții ies adevărate doar pentru anumite valori ale literelor. Încearcă toate cele patru cazuri pentru $p$ și $q$ :
$p$ $q$ ${p \to q}$ ${\overline{q} \to \overline{p}}$
1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Uită-te la ultimele două coloane: pe fiecare rând au aceeași valoare. Deci echivalența dintre ele dă 1 de fiecare dată:
$p$ $q$ ${(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}$
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
Coloana e plină de 1: propoziția e adevărată orice valori ar avea $p$ și $q$ . O astfel de propoziție se numește tautologie.
Motivul: ${\overline{q} \to \overline{p}}$ este contrapoziția lui ${p \to q}$ și spune același lucru. „Dacă plouă, strada e udă” înseamnă același lucru ca „Dacă strada nu e udă, nu plouă”.

$p$	$q$	$\overline{q}$	$\overline{p}$
1	1	0	0

$p$	$q$	${p \to q}$	${\overline{q} \to \overline{p}}$
1	1	1	1

$p$	$q$	${(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}$
1	1	1

$p$	$q$	${p \to q}$	${\overline{q} \to \overline{p}}$
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	0	1	1

$p$	$q$	${(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}$
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Răspuns

Propoziția

{(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}

este adevărată (1).

Exerciții propuse · 5

a)(p∧q)∨r{(p \wedge q) \vee r}(p∧q)∨r

1. Ce ni se cere ✓

2. Calculează din interior spre exterior ✓

b)(p∨r)∧(q∨r){(p \vee r)} \wedge {(q \vee r)}(p∨r)∧(q∨r)

1. Ce ni se cere ✓

2. Calculează din interior spre exterior ✓

c)(p‾∧q‾)∨r‾{(\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r}}(p​∧q​)∨r

1. Ce ni se cere ✓

2. Întâi negațiile ✓

3. Calculează din interior spre exterior ✓

d)(p→q)∧r{(p \to q) \wedge r}(p→q)∧r

1. Ce ni se cere ✓

2. Calculează din interior spre exterior ✓

e)(p→r)→q{(p \to r) \to q}(p→r)→q

1. Ce ni se cere ✓

2. Întâi paranteza ✓

3. Apoi implicația din afară ✓

f)(p→q)↔(q→p){(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}(p→q)↔(q→p)

1. Ce ni se cere ✓

2. Calculează din interior spre exterior ✓

3. E adevărată mereu? Nu! ✓

g)(p→q)↔(q‾→p‾){(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}(p→q)↔(q​→p​)

1. Ce ni se cere ✓

2. Întâi negațiile ✓

3. Calculează parantezele, apoi echivalența ✓

4. Și pentru alte valori? ✓

a) ${(p \wedge q) \vee r}$

1. Ce ni se cere

2. Calculează din interior spre exterior

b) ${(p \vee r)} \wedge {(q \vee r)}$

1. Ce ni se cere

2. Calculează din interior spre exterior

c) ${(\overline{p} \wedge \overline{q}) \vee \overline{r}}$

1. Ce ni se cere

2. Întâi negațiile

3. Calculează din interior spre exterior

d) ${(p \to q) \wedge r}$

1. Ce ni se cere

2. Calculează din interior spre exterior

e) ${(p \to r) \to q}$

1. Ce ni se cere

2. Întâi paranteza

3. Apoi implicația din afară

f) ${(p \to q)} \leftrightarrow {(q \to p)}$

1. Ce ni se cere

2. Calculează din interior spre exterior

3. E adevărată mereu? Nu!

g) ${(p \to q)} \leftrightarrow {(\overline{q} \to \overline{p})}$

1. Ce ni se cere

2. Întâi negațiile

3. Calculează parantezele, apoi echivalența

4. Și pentru alte valori?