MateClar
← Capitol

Progresii aritmetice și progresii geometrice

Pasul 1 din 9

Două feluri de a crește

Economisești bani: în prima lună pui deoparte 60 de lei, iar în fiecare lună următoare cu 20 de lei mai mult decât în luna dinainte.
60
luna 1
80
luna 2
100
luna 3
120
luna 4
+20
+20
+20
Acum o cultură de bacterii: la început sunt 100, iar la fiecare oră numărul lor se dublează.
100100⋅2\cdot 2200200⋅2\cdot 2400400⋅2\cdot 2800800

Adunăm mereu același număr

Înapoi la economii. De la o lună la alta, suma pusă deoparte crește cu 20:
6060+20+208080+20+20100100+20+20120120

Un șir în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din cel dinainte adunând același număr se numește progresie aritmetică (pe scurt, PA).

Numărul adunat la fiecare pas se numește rația și se notează cu rr. Gândește-te la ea ca la pasul șirului: termenii urcă (sau coboară) ca pe niște trepte egale. Aici r=20r = 20. Ca să afli pasul, scazi un termen din următorul: 80−60=2080 - 60 = 20.

Dacă notăm termenii cu a1=60a_1 = 60, a2=80a_2 = 80, a3=100a_3 = 100, …, regula se scrie așa:
an=an−1+ra_n = a_{n-1} + r
Termenul de pe locul nn = termenul dinainte + pasul. Regula pornește de la al doilea termen (n≥2n \ge 2), pentru că primul, a1a_1, nu are nimic înaintea lui.

Verifică-te

Sumele puse deoparte lunar continuă după aceeași regulă: 60,80,100,120,…60, 80, 100, 120, \dots Ce urmează?

Înmulțim mereu cu același număr

Înapoi la bacterii. Aici diferențele nu mai sunt egale: 200−100=100200 - 100 = 100, dar 400−200=200400 - 200 = 200. Ce rămâne la fel e înmulțirea cu 2:
100100⋅2\cdot 2200200⋅2\cdot 2400400⋅2\cdot 2800800

Un șir în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din cel dinainte înmulțind cu același număr se numește progresie geometrică (pe scurt, PG).

Numărul cu care înmulțim se numește tot rația, dar se notează cu qq. Aici q=2q = 2. Ca să o afli, împarți un termen la cel dinainte: 400:200=2400 : 200 = 2.

Înmulțirea poate și să micșoreze. Telefonul tău e încărcat 100%. În fiecare oră, bateria scade la 90% din cât avea cu o oră înainte, adică se înmulțește cu q=0,9q = 0{,}9. Înmulțind numere pozitive cu un număr între 0 și 1, termenii scad:
100100⋅0,9\cdot 0{,}99090⋅0,9\cdot 0{,}98181⋅0,9\cdot 0{,}972,972{,}9
bn=bn−1⋅qb_n = b_{n-1} \cdot q
Cu notațiile b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots: fiecare termen = cel dinainte înmulțit cu rația, de la al doilea termen încolo (n≥2n \ge 2).

Verifică-te

Bacteriile continuă: 100,200,400,800,…100, 200, 400, 800, \dots Ce urmează?

Ce face rația r?

−505101512345n
  • r=2r = 2
  • r=−3r = -3
  • r=0r = 0

Trei progresii aritmetice, cu trei pași diferiți. Pe orizontală e locul termenului (nn), pe verticală valoarea lui.

Cu r=2r = 2: 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9. Adunăm 2 la fiecare pas, deci punctele urcă.

Cu r=−3r = -3: 13,10,7,4,113, 10, 7, 4, 1. Adunăm −3-3, adică scădem 3, deci punctele coboară.

Cu r=0r = 0: −2,−2,−2,…-2, -2, -2, \dots Adunăm 0, deci nu se schimbă nimic.

Ce face rația q?

Două progresii geometrice cu termeni pozitivi: q=2q = 2 (1,2,4,81, 2, 4, 8) și q=12q = \tfrac12 (8,4,2,18, 4, 2, 1).
024681234n
  • q=2q = 2
  • q=12q = \tfrac12
Una crește, cealaltă scade, dar toți termenii rămân pozitivi. Acum q=−2q = -2: 1,−2,4,−8,161, -2, 4, -8, 16. Semnul se schimbă la fiecare pas, deci graficul face zigzag:
−100102012345n

Verifică-te

Progresia geometrică 3,−6,12,−24,…3, -6, 12, -24, \dots are rația qq:

Cum verificăm?

Manualul ia șirul an=1−2na_n = 1 - 2n. Este PA? Este PG? Calculăm primii termeni:
nnan=1−2na_n = 1 - 2n
111−2⋅1=−11 - 2 \cdot 1 = -1
221−2⋅2=−31 - 2 \cdot 2 = -3
331−2⋅3=−51 - 2 \cdot 3 = -5
441−2⋅4=−71 - 2 \cdot 4 = -7

Diferențe: −3−(−1)=−2-3 - (-1) = -2, −5−(−3)=−2-5 - (-3) = -2, −7−(−5)=−2-7 - (-5) = -2. Mereu −2-2.

Rapoarte: −3−1=3\frac{-3}{-1} = 3, dar −5−3=53\frac{-5}{-3} = \frac53. Nu sunt egale.

Ca să fim siguri pentru toți termenii, calculăm diferența cu un nn oarecare. Termenul următor, an+1a_{n+1}, se obține punând n+1n+1 în loc de nn: an+1=1−2(n+1)a_{n+1} = 1 - 2(n+1). Acum scădem:

an+1−an=(1−2(n+1))−(1−2n)=1−2n−2−1+2n=−2a_{n+1} - a_n = \bigl(1 - 2(n+1)\bigr) - (1 - 2n) = 1 - 2n - 2 - 1 + 2n = -2
Nu depinde de nn, deci șirul este PA, cu r=−2r = -2. Raportul însă nu e constant (3, apoi 53\frac53), deci șirul nu este PG.

Un șir constant e și PA, și PG

Manualul dă ca exemplu șirul dn=3d_n = \sqrt3. Toți termenii lui sunt egali:
3\sqrt3+0+03\sqrt3+0+03\sqrt3+0+03\sqrt3
3\sqrt3⋅1\cdot 13\sqrt3⋅1\cdot 13\sqrt3⋅1\cdot 13\sqrt3

Diferența dintre vecini: 3−3=0\sqrt3 - \sqrt3 = 0, mereu. Deci e PA, cu r=0r = 0.

Raportul dintre vecini: 33=1\frac{\sqrt3}{\sqrt3} = 1, mereu. Deci e și PG, cu q=1q = 1.

Verifică-te

Șirul 5,5,5,…5, 5, 5, \dots este:

Pe scurt: PA sau PG?

Două șiruri care încep la fel, cu 2, dar merg după reguli diferite:
22+3+355+3+388+3+31111
22⋅3\cdot 366⋅3\cdot 31818⋅3\cdot 35454
Primul urcă pe trepte egale, de câte 3: e o PA. Al doilea se înmulțește cu 3 la fiecare pas: e o PG. Tot ce ai învățat în lecție, într-un singur tabel:
Ce comparămPAPG
La fiecare pasadunăm rrînmulțim cu qq
Regulaan=an−1+r{a_n = a_{n-1} + r}bn=bn−1⋅q{b_n = b_{n-1} \cdot q}
Rațiar=an+1−an{r = a_{n+1} - a_n}q=bn+1bn{q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}}
Testuldiferența e aceeași la fiecare pasraportul e același la fiecare pas (termeni nenuli)

Verifică-te

Șirul 2,6,10,14,…2, 6, 10, 14, \dots este:
Cum scrie manualul

Cum scrie manualul

Progresie aritmetică. Un șir de numere reale (an)n∈N∗(a_n)_{n\in\mathbb N^*} se numește progresie aritmetică dacă orice termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul prin adunare cu același număr real, numit rația progresiei:
an=an−1+r, ∀n≥2a_n = a_{n-1} + r,\ \forall n \ge 2
r∈Rr \in \mathbb R este rația, iar primul termen, a1a_1, este un număr real dat. Notație: ÷ (an)n∈N∗\div\,(a_n)_{n\in\mathbb N^*}.
Progresie geometrică. Un șir de numere reale (bn)n∈N∗(b_n)_{n\in\mathbb N^*} se numește progresie geometrică dacă orice termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul prin înmulțire cu același număr real, numit rația progresiei:
bn=bn−1⋅q, ∀n≥2b_n = b_{n-1} \cdot q,\ \forall n \ge 2
q∈Rq \in \mathbb R este rația, iar primul termen, b1b_1, este un număr real dat. Notație: ∺ (bn)n∈N∗(b_n)_{n\in\mathbb N^*}.
Manualul mai spune că o progresie este bine (complet) determinată dacă îi cunoști primul termen și rația. La verificare, manualul face exact ce ai făcut tu la „Cum verificăm?”: calculează an+1−ana_{n+1} - a_n (sau bn+1bn\frac{b_{n+1}}{b_n}, cu bn≠0b_n \ne 0) și se uită dacă rezultatul depinde de nn.
SimbolCe înseamnă
(an)n∈N∗(a_n)_{n\in\mathbb N^*}șirul a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots; nn ia valorile 1,2,3,…1, 2, 3, \dots (N∗\mathbb N^* = numerele naturale fără 0)
∀\forall„pentru orice”; ∀n≥2\forall n \ge 2 = pentru orice nn de la 2 în sus, adică de la al doilea termen încolo
rrrația unei progresii aritmetice: numărul adunat la fiecare pas
qqrația unei progresii geometrice: numărul cu care înmulțim la fiecare pas
÷\div„progresie aritmetică”
∺„progresie geometrică”