Exercițiul 1 · Primii patru termeni

a) $a_1 = 3$ , $r = 2$

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen este cel dinaintea lui plus rația. Pornești de la

a_1 = 3

și aduni 2.

1. Ce ni se cere
Știm două lucruri despre progresia aritmetică $(a_n)$ : primul termen este $a_1 = 3$ , iar rația este $r = 2$ .
Trebuie să scrii primii 4 termeni, adică $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ și $a_4$ . Pe $a_1$ îl ai deja, deci mai ai de aflat trei termeni.
2. Ideea: la fiecare pas aduni rația
Ce înseamnă „progresie aritmetică”? Breviarul culegerii o definește așa: fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din termenul dinaintea lui, adunând același număr $r$ , numit rație:
$a_n = a_{n-1} + r, \quad n \ge 2$
Termenul de pe locul $n$ este cel de pe locul $n - 1$ , plus rația.
Deci nu ai nevoie de nicio formulă complicată. Pornești de la $a_1$ și aduni $r$ de trei ori: o dată ca să ajungi la $a_2$ , încă o dată pentru $a_3$ și încă o dată pentru $a_4$ .
E ca la o scară cu trepte egale: știi unde e prima treaptă și cât de înaltă e fiecare treaptă, așa că urci treaptă cu treaptă.
3. Calculăm termen cu termen
Aplici regula „cel dinainte plus 2”:
$a_2 = a_1 + r = 3 + 2 = 5$
$a_3 = a_2 + r = 5 + 2 = 7$
Pentru $a_3$ pornești de la $a_2 = 5$ , nu de la $a_1$ : fiecare termen se calculează din cel de dinaintea lui.
Verifică-te
Termină tu: $a_4 = \ ?$
$3$ $+2$ $5$ $+2$ $7$ $+2$ $9$
4. Verificăm
Două verificări rapide.
Saltul e mereu același? $5 - 3 = 2$ , $7 - 5 = 2$ , $9 - 7 = 2$ ✓. Toate diferențele sunt egale cu rația.
Se potrivește cu formula termenului general? Breviarul mai dă formula $a_n = a_1 + (n - 1)r$ , care sare direct la orice termen. Pentru $n = 4$ :
$a_4 = a_1 + 3r = 3 + 3 \cdot 2 = 9$
Până la $a_4$ sunt $4 - 1 = 3$ pași, iar la fiecare pas se adaugă un $r$ . Același rezultat ✓
Pentru primii câțiva termeni e mai simplu să aduni pas cu pas. Formula te ajută când îți trebuie un termen îndepărtat, de exemplu $a_{100}$ .

Răspuns

Primii 4 termeni sunt

3, 5, 7, 9

.

b) $a_1 = -2$ , $r = -3$

Metoda e cea de la a): aduni rația la fiecare pas. A aduna

-3

înseamnă a scădea 3.

1. Ce e nou: rația este negativă
Metoda e aceeași ca la a): pornești de la $a_1 = -2$ și aduni rația de trei ori.
Nou este că rația $r = -3$ e negativă. A aduna un număr negativ înseamnă a scădea opusul lui: $x + (-3) = x - 3$ . Pe axa numerelor, fiecare pas te duce cu 3 unități spre stânga, așa că termenii vor scădea.
$a_2 = -2 + (-3) = -5$
Adică $a_2 = a_1 + r = -2 - 3$ : de la $-2$ cobori 3 unități și ajungi la $-5$ .
2. Continuăm la fel
$a_3 = -5 + (-3) = -8$
Pornești de la $a_2 = -5$ și cobori încă 3 unități.
Verifică-te
Termină tu: $a_4 = \ ?$
$-2$ $+(-3)$ $-5$ $+(-3)$ $-8$ $+(-3)$ $-11$
Verificare: $-5 - (-2) = -3$ , $-8 - (-5) = -3$ , $-11 - (-8) = -3$ ✓. Când rația e negativă, progresia e descrescătoare: fiecare termen e mai mic decât cel dinainte.

Răspuns

Primii 4 termeni sunt

-2, -5, -8, -11

.

c) $a_1 = \frac27$ , $a_2 = \frac15$

Rația nu e dată, dar o afli din primii doi termeni:

r = a_2 - a_1

. Ca să scazi fracțiile, adu-le la același numitor.

1. Ce e nou: rația nu ni se dă
Avem doi termeni, $a_1 = \frac27$ și $a_2 = \frac15$ , dar nu avem rația. Fără ea nu putem merge mai departe, deci întâi o aflăm.
Rația este exact saltul de la un termen la următorul: $a_2 = a_1 + r$ . Treci $a_1$ în partea cealaltă și obții formula din breviar:
$r = a_2 - a_1$
Ordinea contează: termenul următor minus cel dinainte.
2. Calculăm rația cu numitor comun
Fracțiile cu numitori diferiți nu se pot scădea direct. Numitorii 5 și 7 sunt prime între ele, deci numitorul comun este $5 \cdot 7 = 35$ :
$r = \frac15 - \frac27 = \frac{7}{35} - \frac{10}{35}$
Amplifici $\frac15$ cu 7 și $\frac27$ cu 5.
Verifică-te
Acum scazi numărătorii. Cât este $\frac{7}{35} - \frac{10}{35}$ ?
3. Termenii $a_3$ și $a_4$
Acum aduni rația ca la a). E comod să scrii toți termenii cu numitorul 35: $a_1 = \frac{10}{35}$ , $a_2 = \frac{7}{35}$ . Atunci la fiecare pas doar scazi 3 din numărător:
$a_3 = \frac{7}{35} - \frac{3}{35} = \frac{4}{35}$
$a_4 = \frac{4}{35} - \frac{3}{35} = \frac{1}{35}$
$\frac{10}{35}$ $-\frac{3}{35}$ $\frac{7}{35}$ $-\frac{3}{35}$ $\frac{4}{35}$ $-\frac{3}{35}$ $\frac{1}{35}$
În răspuns lași primii doi termeni așa cum sunt în enunț, $\frac27$ și $\frac15$ (sunt aceleași numere ca $\frac{10}{35}$ și $\frac{7}{35}$ , simplificate).

Răspuns

Rația este

r = -\frac{3}{35}

, iar primii 4 termeni sunt

\frac27, \frac15, \frac{4}{35}, \frac{1}{35}

.

d) $a_1 = \sqrt2$ , $a_2 = \sqrt8$

Ca la c),

r = a_2 - a_1

. Ca să poți scădea, scoate factorul de sub radical:

\sqrt8 = \sqrt{4 \cdot 2}

.

1. Ce e nou: întâi simplificăm $\sqrt8$
Ca la c), rația lipsește, deci o afli din primii doi termeni: $r = a_2 - a_1 = \sqrt8 - \sqrt2$ .
Diferența $\sqrt8 - \sqrt2$ nu se poate calcula așa cum e scrisă, pentru că radicalii sunt diferiți. Dar $8 = 4 \cdot 2$ , iar 4 este pătrat perfect, deci îl poți scoate de sub radical. E scoaterea factorilor de sub radical, pe care ai învățat-o în gimnaziu, în clasa a VII-a:
$\sqrt8 = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt2$
$\sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt4 \cdot \sqrt2$ , iar $\sqrt4 = 2$ .
Acum ambii termeni conțin $\sqrt2$ și se scad ca termenii asemenea, la fel cum $2x - x = x$ .
Verifică-te
Cât este rația $r = 2\sqrt2 - \sqrt2$ ?
2. Termenii $a_3$ și $a_4$
Aduni câte un $\sqrt2$ la fiecare pas. Numeri de fapt câți de $\sqrt2$ ai: unul, doi, trei, patru.
$a_3 = 2\sqrt2 + \sqrt2 = 3\sqrt2$
$a_4 = 3\sqrt2 + \sqrt2 = 4\sqrt2$
$\sqrt2$ $+\sqrt2$ $2\sqrt2$ $+\sqrt2$ $3\sqrt2$ $+\sqrt2$ $4\sqrt2$
Verificare cu zecimale, cu $\sqrt2 \approx 1{,}41$ : termenii sunt aproximativ $1{,}41$ ; $2{,}83$ ; $4{,}24$ ; $5{,}66$ , iar saltul dintre ei este mereu cam $1{,}41$ ✓. Pe $a_2$ îl poți scrie $\sqrt8$ sau $2\sqrt2$ : e același număr.

Răspuns

Rația este

r = \sqrt2

, iar primii 4 termeni sunt

\sqrt2, 2\sqrt2, 3\sqrt2, 4\sqrt2

(cu

2\sqrt2 = \sqrt8

).

Exercițiul 1 · Primii patru termeni

a)a1=3a_1 = 3a1​=3, r=2r = 2r=2

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: la fiecare pas aduni rația ✓

3. Calculăm termen cu termen ✓

4. Verificăm ✓

b)a1=−2a_1 = -2a1​=−2, r=−3r = -3r=−3

1. Ce e nou: rația este negativă ✓

2. Continuăm la fel ✓

c)a1=27a_1 = \frac27a1​=72​, a2=15a_2 = \frac15a2​=51​

1. Ce e nou: rația nu ni se dă ✓

2. Calculăm rația cu numitor comun ✓

3. Termenii a3a_3a3​ și a4a_4a4​ ✓

d)a1=2a_1 = \sqrt2a1​=2​, a2=8a_2 = \sqrt8a2​=8​

1. Ce e nou: întâi simplificăm 8\sqrt88​ ✓

2. Termenii a3a_3a3​ și a4a_4a4​ ✓

a) $a_1 = 3$ , $r = 2$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: la fiecare pas aduni rația

3. Calculăm termen cu termen

4. Verificăm

b) $a_1 = -2$ , $r = -3$

1. Ce e nou: rația este negativă

2. Continuăm la fel

c) $a_1 = \frac27$ , $a_2 = \frac15$

1. Ce e nou: rația nu ni se dă

2. Calculăm rația cu numitor comun

3. Termenii $a_3$ și $a_4$

d) $a_1 = \sqrt2$ , $a_2 = \sqrt8$

1. Ce e nou: întâi simplificăm $\sqrt8$

2. Termenii $a_3$ și $a_4$