MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 10

Exercițiul 10 · Termenul general din a1a_1 și rr

Într-o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n\ge1} se cunosc a1a_1 și rr. Să se găsească ana_n, dacă:

a)a1=−2a_1 = -2, r=12r = \frac12, n=10n = 10

Folosește formula termenului general, an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r, cu n=10n = 10. Până la a10a_{10} faci 9 pași, nu 10.

  1. 1. Ce ni se cere

    Progresia (an)(a_n) pornește de la a1=−2a_1 = -2 și are rația r=12r = \frac12. Cuvântul „ana_n” din enunț înseamnă termenul de pe un loc oarecare, iar aici locul este dat: n=10n = 10.

    Deci trebuie să afli al zecelea termen, a10a_{10}. Nu ți se cere să scrii toți termenii de la 1 la 10, ci doar pe ultimul, așa că ai nevoie de o formulă care sare direct la el.

  2. 2. Ideea: formula termenului general

    Breviarul culegerii dă formula care face exact asta:
    an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r
    Pornești de la a1a_1 și faci n−1n - 1 pași, iar la fiecare pas aduni rația rr.
    De ce n−1n - 1 și nu nn? Primul termen, a1a_1, îl ai de la început, fără niciun pas. Pentru a2a_2 faci un pas, pentru a3a_3 doi pași și tot așa: de fiecare dată numărul de pași este cu 1 mai mic decât rangul.

    Verifică-te

    Câți pași de mărime rr faci de la a1a_1 până la a10a_{10}?

  3. 3. Înlocuim în formulă

    Cu a1=−2a_1 = -2, r=12r = \frac12 și n=10n = 10 formula devine:
    a10=−2+(10−1)⋅12=−2+9⋅12=−2+92\begin{aligned} a_{10} &= -2 + (10 - 1) \cdot \frac12 \\ &= -2 + 9 \cdot \frac12 \\ &= -2 + \frac92 \end{aligned}
    Rația se înmulțește cu 9: 9⋅12=929 \cdot \frac12 = \frac92.

    Verifică-te

    Termină tu: −2+92= ?-2 + \frac92 = \ ?

  4. 4. Verificăm

    Cu zecimale: r=0,5r = 0{,}5, deci a10=−2+9⋅0,5=−2+4,5=2,5=52a_{10} = -2 + 9 \cdot 0{,}5 = -2 + 4{,}5 = 2{,}5 = \frac52 ✓.

    Are sens și ca ordin de mărime? Rația este pozitivă, deci termenii cresc: −2-2, −1,5-1{,}5, −1-1, −0,5-0{,}5, 00 pentru a1,…,a5a_1, \dots, a_5, apoi cinci termeni pozitivi, până la a10=2,5a_{10} = 2{,}5. Se potrivește: din 5 în 5 locuri termenii cresc cu 5⋅0,5=2,55 \cdot 0{,}5 = 2{,}5, iar a5=0a_5 = 0.

Răspuns
a10=52=2,5a_{10} = \frac52 = 2{,}5.

b)a1=−3,5a_1 = -3{,}5, r=−2r = -2, n=50n = 50

Aceeași formulă ca la a): an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r. Aici n−1=49n - 1 = 49, iar rația este negativă.

  1. 1. Înlocuim: ce e nou este rația negativă

    Metoda e cea de la a): an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r. Pentru n=50n = 50 faci 50−1=4950 - 1 = 49 pași, iar fiecare pas are mărimea r=−2r = -2, adică scade cu 2.
    a50=−3,5+49⋅(−2)a_{50} = -3{,}5 + 49 \cdot (-2)
    Rația se pune între paranteze, ca să nu confunzi semnele.

    Verifică-te

    Cât este produsul 49⋅(−2)49 \cdot (-2)?

  2. 2. Calculăm și verificăm

    a50=−3,5−98=−101,5a_{50} = -3{,}5 - 98 = -101{,}5
    Doi termeni negativi se adună ca numerele fără semn, 3,5+983{,}5 + 98, iar rezultatul păstrează minusul.
    Verificare de semn și mărime: rația este negativă, deci termenii scad și pornesc deja de la −3,5-3{,}5. Al 50-lea termen trebuie să fie mult sub −3,5-3{,}5: cam 50⋅2=10050 \cdot 2 = 100 unități mai jos, adică aproape −100-100 ✓.
Răspuns
a50=−101,5a_{50} = -101{,}5.

c)a1=3a_1 = 3, r=−32r = -\frac32, n=17n = 17

Formula an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r, cu n−1=16n - 1 = 16. Rația fracționară se simplifică cu 16.

  1. 1. Înlocuim în formulă

    Aceeași metodă ca la a) și b). De la a1a_1 până la a17a_{17} faci 17−1=1617 - 1 = 16 pași, fiecare de mărime r=−32r = -\frac32:
    a17=3+16⋅(−32)a_{17} = 3 + 16 \cdot \left(-\frac32\right)
    Ca să înmulțești un număr întreg cu o fracție, îl împarți la numitor și înmulțești cu numărătorul.

    Verifică-te

    Cât este 16⋅(−32)16 \cdot \left(-\frac32\right)?

  2. 2. Calculăm și verificăm

    a17=3−24=−21a_{17} = 3 - 24 = -21
    Verificare: r=−1,5r = -1{,}5, deci după 16 pași ai coborât cu 16⋅1,5=2416 \cdot 1{,}5 = 24 de la a1=3a_1 = 3, adică la 3−24=−213 - 24 = -21 ✓.
Răspuns
a17=−21a_{17} = -21.

d)a1=23a_1 = \frac23, r=13r = \frac13, n=26n = 26

Formula an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r, cu n−1=25n - 1 = 25. Fracțiile au același numitor, 3.

  1. 1. Înlocuim în formulă

    Metoda e aceeași. Pentru n=26n = 26 faci 26−1=2526 - 1 = 25 pași, fiecare de mărime 13\frac13:
    a26=23+25⋅13=23+253a_{26} = \frac23 + 25 \cdot \frac13 = \frac23 + \frac{25}{3}
    Ai grijă la numărul de pași: 2525, nu 2626.

    Verifică-te

    Termină tu: 23+253= ?\frac23 + \frac{25}{3} = \ ?

  2. 2. Verificăm

    Un alt drum: termenii sunt 23,33,43,…\frac23, \frac33, \frac43, \dots, adică an=n+13a_n = \frac{n + 1}{3} (numărătorul crește cu 1 de la un termen la altul). Pentru n=26n = 26 obții 273=9\frac{27}{3} = 9 ✓.
Răspuns
a26=9a_{26} = 9.