MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 11

Exercițiul 11 · Doi termeni cunoscuți

Dacă se cunosc doi termeni ai unei progresii aritmetice (cn)n≥1(c_n)_{n\ge1}, să se găsească alți trei termeni, cu:

a)c4=10c_4 = 10, c6=16c_6 = 16. Află c1c_1, c8c_8, c16c_{16}.

Scrie c4c_4 și c6c_6 cu formula cn=c1+(n−1)rc_n = c_1 + (n - 1)r. Scăzând cele două ecuații, c1c_1 dispare și rămâne rr.

  1. 1. Ce ni se cere

    Despre progresia (cn)(c_n) știi doar doi termeni, c4=10c_4 = 10 și c6=16c_6 = 16. Trebuie să afli primul termen c1c_1 și încă doi termeni, c8c_8 și c16c_{16}.

    Orice termen al unei progresii aritmetice este stabilit de două numere: primul termen c1c_1 și rația rr. Dacă le afli pe ele, calculezi orice termen vrei. Cele două numere se află din cele două informații pe care le ai.

  2. 2. Ideea: scriem ambii termeni prin c1c_1 și rr

    Culegerea procedează ca la exemplele rezolvate 2 și 6: scrie fiecare termen cu formula termenului general, cn=c1+(n−1)rc_n = c_1 + (n - 1)r. Obții un sistem cu necunoscutele c1c_1 și rr.

    Verifică-te

    Cum se scrie c6c_6 prin c1c_1 și rr?
    Pentru c4c_4 sunt 3 pași, deci cele două date din enunț devin:
    {c1+3r=10c1+5r=16\begin{cases} c_1 + 3r = 10 \\ c_1 + 5r = 16 \end{cases}

  3. 3. Scădem ecuațiile și aflăm rr

    Coeficienții lui c1c_1 sunt egali, deci nu mai trebuie înmulțit nimic. Dacă scazi prima ecuație din a doua, c1c_1 dispare (metoda reducerii, din gimnaziu):
    (c1+5r)−(c1+3r)=16−10\begin{aligned} &(c_1 + 5r) - (c_1 + 3r) \\ &\quad = 16 - 10 \end{aligned}
    2r=6⇒r=32r = 6 \quad\Rightarrow\quad r = 3
    Diferența dintre c6c_6 și c4c_4 este formată din 2 pași, adică din 2r2r.

    Verifică-te

    Acum afli c1c_1 din prima ecuație, c1+3⋅3=10c_1 + 3 \cdot 3 = 10. Cât este c1c_1?

  4. 4. Calculăm c8c_8 și c16c_{16}

    Cu c1=1c_1 = 1 și r=3r = 3 aplici din nou formula, de data aceasta pentru rangurile cerute:
    c8=c1+7r=1+7⋅3=22\begin{aligned} c_8 &= c_1 + 7r \\ &= 1 + 7 \cdot 3 = 22 \end{aligned}
    c16=c1+15r=1+15⋅3=46\begin{aligned} c_{16} &= c_1 + 15r \\ &= 1 + 15 \cdot 3 = 46 \end{aligned}
    Pentru c16c_{16} sunt 16−1=1516 - 1 = 15 pași.
    Verificare în enunț: c4=1+3⋅3=10c_4 = 1 + 3 \cdot 3 = 10 ✓ și c6=1+5⋅3=16c_6 = 1 + 5 \cdot 3 = 16 ✓. Ca verificare pentru c16c_{16}: de la c6=16c_6 = 16 mai sunt 10 pași, adică 10⋅3=3010 \cdot 3 = 30 în plus, deci 16+30=4616 + 30 = 46 ✓.
Răspuns
c1=1c_1 = 1, c8=22c_8 = 22 și c16=46c_{16} = 46 (rația este r=3r = 3).

b)c6=50c_6 = 50, c20=−20c_{20} = -20. Află c7c_7, c19c_{19}, c25c_{25}.

Aceeași metodă ca la a): scrie c6c_6 și c20c_{20} prin c1c_1 și rr și scade ecuațiile. Între rangurile 6 și 20 sunt 14 pași.

  1. 1. Sistemul și rația

    Metoda e cea de la a). Cu cn=c1+(n−1)rc_n = c_1 + (n - 1)r scrii c6=c1+5rc_6 = c_1 + 5r și c20=c1+19rc_{20} = c_1 + 19r:
    {c1+5r=50c1+19r=−20\begin{cases} c_1 + 5r = 50 \\ c_1 + 19r = -20 \end{cases}
    Scazi prima ecuație din a doua. Termenii cu c1c_1 dispar, iar 19r−5r=14r19r - 5r = 14r:
    14r=−20−50=−70r=−5\begin{aligned} 14r &= -20 - 50 = -70 \\ r &= -5 \end{aligned}
    Rația este negativă, deci progresia este descrescătoare: de la 5050 la −20-20 termenii coboară.

    Verifică-te

    Din prima ecuație, c1+5⋅(−5)=50c_1 + 5 \cdot (-5) = 50. Cât este c1c_1?

  2. 2. Termenii ceruți și verificarea

    Cu c1=75c_1 = 75 și r=−5r = -5 aplici formula pentru fiecare rang cerut:
    c7=75+6⋅(−5)=45c19=75+18⋅(−5)=−15c25=75+24⋅(−5)=−45\begin{aligned} c_7 &= 75 + 6 \cdot (-5) = 45 \\ c_{19} &= 75 + 18 \cdot (-5) = -15 \\ c_{25} &= 75 + 24 \cdot (-5) = -45 \end{aligned}
    Numărul de pași este rangul minus 1: 66, 1818 și 2424.
    Verificare fără c1c_1, direct din termenii dați: c7c_7 este cu un pas după c6=50c_6 = 50, deci 50−5=4550 - 5 = 45 ✓. c19c_{19} este cu un pas înaintea lui c20=−20c_{20} = -20, deci −20+5=−15-20 + 5 = -15 ✓. c25c_{25} este la 5 pași după c20c_{20}, deci −20−25=−45-20 - 25 = -45 ✓.
Răspuns
c7=45c_7 = 45, c19=−15c_{19} = -15 și c25=−45c_{25} = -45 (cu c1=75c_1 = 75 și r=−5r = -5).