Exercițiul 12 · Primul termen și rația din condiții

a) $a_5 = 27$ , $a_{27} = 60$

Scrie

a_5

și

a_{27}

cu

a_n = a_1 + (n - 1)r

și scade ecuațiile, ca la exercițiul 11:

a_1

dispare.

1. Ce ni se cere
Din progresia $(a_n)$ nu cunoști primul termen, dar cunoști doi termeni îndepărtați: $a_5 = 27$ și $a_{27} = 60$ . Ți se cere să afli primul termen $a_1$ și rația $r$ .
Sunt două necunoscute și două informații, deci sistemul are, în general, o singură soluție. E aceeași situație ca la exercițiul 11, doar că acolo cerința era alta.
2. Ideea: totul prin $a_1$ și $r$
Culegerea scrie fiecare termen dat cu formula termenului general din breviar și obține un sistem în $a_1$ și $r$ (exemplele rezolvate 2 și 6):
$a_n = a_1 + (n - 1)r$
De la $a_1$ la $a_n$ sunt $n - 1$ pași, fiecare de mărime $r$ .
Verifică-te
Cum se scrie $a_{27}$ prin $a_1$ și $r$ ?
La fel, $a_5 = a_1 + 4r$ . Cele două informații devin:
$\begin{cases} a_1 + 4r = 27 \\ a_1 + 26r = 60 \end{cases}$
3. Scădem ecuațiile și aflăm $r$
Coeficienții lui $a_1$ sunt egali, deci scazi prima ecuație din a doua și $a_1$ dispare:
$\begin{aligned} &(a_1 + 26r) - (a_1 + 4r) \\ &\quad = 60 - 27 \end{aligned}$
$22r = 33 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{33}{22} = \frac32$
Între $a_5$ și $a_{27}$ sunt $27 - 5 = 22$ pași. Simplifici fracția prin 11.
Verifică-te
Din prima ecuație, $a_1 + 4 \cdot \frac32 = 27$ . Cât este $a_1$ ?
4. Verificăm în enunț
Cu $a_1 = 21$ și $r = 1{,}5$ :
$a_5 = 21 + 4 \cdot 1{,}5 = 27$ ✓
$a_{27} = 21 + 26 \cdot 1{,}5 = 21 + 39 = 60$ ✓
Ambele date din enunț se verifică.

Răspuns

a_1 = 21

și

r = \frac32

.

b) $a_{23} = 32$ , $a_{32} = 23$

Aceeași metodă ca la a):

a_{23} = a_1 + 22r

,

a_{32} = a_1 + 31r

, apoi scazi ecuațiile.

1. Sistemul și rația
Ca la a), scrii cei doi termeni prin $a_1$ și $r$ . De la $a_1$ la $a_{23}$ sunt 22 de pași, iar la $a_{32}$ sunt 31:
$\begin{cases} a_1 + 22r = 32 \\ a_1 + 31r = 23 \end{cases}$
Scazi prima ecuație din a doua: $a_1$ dispare, iar $31r - 22r = 9r$ .
$9r = 23 - 32 = -9$
Termenii au scăzut de la $32$ la $23$ , deci rația este negativă.
Verifică-te
Cât este $r$ din $9r = -9$ ?
2. Aflăm $a_1$ și verificăm
Din prima ecuație, cu $r = -1$ , adică $a_1 + 22 \cdot (-1) = 32$ :
$\begin{aligned} a_1 - 22 &= 32 \\ a_1 &= 32 + 22 = 54 \end{aligned}$
Verificare cu a doua ecuație: $a_{32} = 54 + 31 \cdot (-1) = 23$ ✓.

Răspuns

a_1 = 54

și

r = -1

.

c) $a_{20} = 0$ , $a_{60} = -80$

Aceeași metodă:

a_{20} = a_1 + 19r

și

a_{60} = a_1 + 59r

. Un termen este zero, deci prima ecuație are membrul drept

0

.

1. Sistemul și rația
Sistemul se scrie la fel ca la a) și b), cu $19$ și $59$ de pași. Faptul că $a_{20} = 0$ nu schimbă nimic, doar că membrul drept al primei ecuații este $0$ :
$\begin{cases} a_1 + 19r = 0 \\ a_1 + 59r = -80 \end{cases}$
$\begin{aligned} 40r &= -80 - 0 = -80 \\ r &= -2 \end{aligned}$
Scazi prima ecuație din a doua: $59r - 19r = 40r$ .
Verifică-te
Din prima ecuație, $a_1 + 19 \cdot (-2) = 0$ . Cât este $a_1$ ?
2. Verificăm
$a_{20} = 38 + 19 \cdot (-2) = 38 - 38 = 0$ ✓
$a_{60} = 38 + 59 \cdot (-2) = 38 - 118 = -80$ ✓
Se verifică amândouă, deci $a_1 = 38$ și $r = -2$ .

Răspuns

a_1 = 38

și

r = -2

.

d) $a_4 + a_{10} = -5$ , $2a_1 - 4a_7 = 11$

Scrie fiecare termen cu

a_n = a_1 + (n - 1)r

. La a doua condiție, înmulțește

-4

cu fiecare termen din paranteză.

1. Ce ni se cere
Acum condițiile nu mai dau termeni, ci combinații de termeni: o sumă și o expresie cu coeficienți. Ți se cer, ca la celelalte puncte, $a_1$ și $r$ .
Metoda e cea din exemplul rezolvat 6 al culegerii: scrii fiecare termen prin $a_1$ și $r$ , ca să rămână două necunoscute, și rezolvi sistemul.
2. Condițiile devin un sistem
Cu $a_n = a_1 + (n - 1)r$ ai $a_4 = a_1 + 3r$ , $a_{10} = a_1 + 9r$ și $a_7 = a_1 + 6r$ . Prima condiție:
$\begin{aligned} (a_1 + 3r) + (a_1 + 9r) &= -5 \\ 2a_1 + 12r &= -5 \end{aligned}$
A doua condiție are un minus în fața unui termen cu paranteză, așa că ai grijă la semne:
$2a_1 - 4(a_1 + 6r) = 11$
Verifică-te
Cât este membrul stâng, după ce desfaci paranteza și aduni termenii asemenea?
Sistemul este:
$\begin{cases} 2a_1 + 12r = -5 \\ -2a_1 - 24r = 11 \end{cases}$
3. Reducem pe $a_1$ și aflăm $r$
Coeficienții lui $a_1$ sunt deja opuși, $2$ și $-2$ , deci nu trebuie să înmulțești nimic. Aduni ecuațiile membru cu membru (metoda reducerii, din gimnaziu):
$12r - 24r = -5 + 11$
$-12r = 6 \quad\Rightarrow\quad r = -\frac12$
Împarți $6$ la $-12$ : rezultatul este negativ.
Verifică-te
Înlocuiești în prima ecuație: $2a_1 + 12 \cdot \left(-\frac12\right) = -5$ . Cât este $a_1$ ?
4. Verificăm în enunț
Cu $a_1 = 0{,}5$ și $r = -0{,}5$ : $a_4 = 0{,}5 - 1{,}5 = -1$ , $a_{10} = 0{,}5 - 4{,}5 = -4$ și $a_7 = 0{,}5 - 3 = -2{,}5$ .
$a_4 + a_{10} = -1 - 4 = -5$ ✓
$2a_1 - 4a_7 = 1 - 4 \cdot (-2{,}5) = 1 + 10 = 11$ ✓

Răspuns

a_1 = \frac12

și

r = -\frac12

.

e) $a_1 + a_7 = 42$ , $a_6 - a_3 = 9$

Scrie termenii prin

a_1

și

r

. A doua condiție conține

a_1

de două ori, cu semne opuse.

1. Condițiile devin un sistem
Metoda e cea de la d). Cu $a_7 = a_1 + 6r$ , $a_6 = a_1 + 5r$ și $a_3 = a_1 + 2r$ , cele două condiții sunt:
$\begin{aligned} a_1 + (a_1 + 6r) &= 42 \\ (a_1 + 5r) - (a_1 + 2r) &= 9 \end{aligned}$
Strângi termenii:
$\begin{cases} 2a_1 + 6r = 42 \\ 3r = 9 \end{cases}$
În a doua ecuație $a_1$ se reduce singur: $a_1 - a_1 = 0$ .
Verifică-te
A doua ecuație conține doar pe $r$ . Cât este $r$ ?
2. Aflăm $a_1$ și verificăm
Înlocuiești $r = 3$ în prima ecuație:
$\begin{aligned} 2a_1 + 6 \cdot 3 &= 42 \\ 2a_1 &= 24 \\ a_1 &= 12 \end{aligned}$
Verificare: $a_7 = 12 + 18 = 30$ , deci $a_1 + a_7 = 42$ ✓. $a_6 = 12 + 15 = 27$ și $a_3 = 12 + 6 = 18$ , deci $a_6 - a_3 = 9$ ✓.

Răspuns

a_1 = 12

și

r = 3

.

f) $a_2 + a_4 = 16$ , $a_1 \cdot a_5 = 28$

Prima condiție este liniară și îți dă

a_1

în funcție de

r

. Înlocuiește în a doua și rezolvi o ecuație în

r

cu

r^2

.

1. Condițiile prin $a_1$ și $r$
Metoda rămâne aceeași, dar a doua condiție are un produs, deci sistemul nu mai e liniar.
Scrii termenii: $a_2 = a_1 + r$ , $a_4 = a_1 + 3r$ și $a_5 = a_1 + 4r$ . Prima condiție dă o ecuație liniară:
$\begin{aligned} (a_1 + r) + (a_1 + 3r) &= 16 \\ 2a_1 + 4r &= 16 \end{aligned}$
Împarți prin 2 și exprimi pe $a_1$ cu ajutorul lui $r$ (metoda substituției, din gimnaziu):
$\begin{aligned} a_1 + 2r &= 8 \\ a_1 &= 8 - 2r \end{aligned}$
Verifică-te
Dacă $a_1 = 8 - 2r$ , cât este $a_5 = a_1 + 4r$ ?
2. A doua condiție dă o ecuație în $r$
Înlocuiești $a_1 = 8 - 2r$ și $a_5 = 8 + 2r$ în $a_1 \cdot a_5 = 28$ :
$(8 - 2r)(8 + 2r) = 28$
Produsul este o diferență de pătrate, $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ (formulă din gimnaziu):
$\begin{aligned} 64 - 4r^2 &= 28 \\ 4r^2 &= 36 \\ r^2 &= 9 \end{aligned}$
Ecuația $r^2 = 9$ are două soluții, $r = 3$ și $r = -3$ . Ambele sunt bune, pentru că enunțul nu impune nimic asupra semnului rației. Pentru fiecare, $a_1 = 8 - 2r$ :
$r$ $a_1 = 8 - 2r$
$3$ $8 - 6 = 2$
$-3$ $8 + 6 = 14$
3. Verificăm ambele soluții
$a_1 = 2$ , $r = 3$ : $a_2 = 5$ , $a_4 = 11$ , deci $a_2 + a_4 = 16$ ✓. $a_5 = 14$ , deci $a_1 \cdot a_5 = 2 \cdot 14 = 28$ ✓.
$a_1 = 14$ , $r = -3$ : $a_2 = 11$ , $a_4 = 5$ , deci $a_2 + a_4 = 16$ ✓. $a_5 = 2$ , deci $a_1 \cdot a_5 = 14 \cdot 2 = 28$ ✓.
Cele două progresii sunt una „în oglindă” față de cealaltă: $2, 5, 8, 11, 14$ și $14, 11, 8, 5, 2$ .

$r$	$a_1 = 8 - 2r$
$3$	$8 - 6 = 2$
$-3$	$8 + 6 = 14$

Răspuns

Sunt două soluții:

a_1 = 2

și

r = 3

, sau

a_1 = 14

și

r = -3

.

g) $a_1 + a_2 + a_3 = 24$ , $a_2 + a_3 + a_3 = 36$

Scrie

a_2 = a_1 + r

și

a_3 = a_1 + 2r

. În a doua condiție,

a_3

apare de două ori, deci se numără de două ori.

1. Condițiile devin un sistem
Rezolvăm condițiile așa cum sunt tipărite (vezi nota de sub enunț). Cu $a_2 = a_1 + r$ și $a_3 = a_1 + 2r$ , prima condiție este:
$\begin{aligned} &a_1 + (a_1 + r) \\ &\quad + (a_1 + 2r) = 24 \end{aligned}$
$3a_1 + 3r = 24$
A doua condiție conține pe $a_3$ de două ori, deci și $a_1 + 2r$ se scrie de două ori:
$\begin{aligned} &(a_1 + r) + (a_1 + 2r) \\ &\quad + (a_1 + 2r) = 36 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este suma, după ce strângi termenii asemenea?
$\begin{cases} 3a_1 + 3r = 24 \\ 3a_1 + 5r = 36 \end{cases}$
2. Scădem ecuațiile și aflăm $r$
Coeficienții lui $a_1$ sunt egali, deci scazi prima ecuație din a doua. $3a_1$ dispare:
$\begin{aligned} &(3a_1 + 5r) - (3a_1 + 3r) \\ &\quad = 36 - 24 \\ &2r = 12 \quad\Rightarrow\quad r = 6 \end{aligned}$
Prima ecuație se poate împărți prin 3: $a_1 + r = 8$ , deci $a_1 = 8 - 6 = 2$ .
3. Verificăm în enunț
Cu $a_1 = 2$ și $r = 6$ : $a_2 = 8$ și $a_3 = 14$ .
$a_1 + a_2 + a_3 = 2 + 8 + 14 = 24$ ✓
$a_2 + a_3 + a_3 = 8 + 14 + 14 = 36$ ✓

Răspuns

a_1 = 2

și

r = 6

.

h) $a_2 - a_6 + a_4 = 7$ , $a_8 - a_7 = 2a_4$

Scrie fiecare termen prin

a_1

și

r

și simplifică. La a doua condiție,

a_4

este în membrul drept: mută-l în stânga.

1. Simplificăm fiecare condiție
Prima condiție, cu $a_2 = a_1 + r$ , $a_6 = a_1 + 5r$ și $a_4 = a_1 + 3r$ :
$\begin{aligned} &(a_1 + r) - (a_1 + 5r) \\ &\quad + (a_1 + 3r) = 7 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este membrul stâng, după ce strângi termenii asemenea?
Prima ecuație este $a_1 - r = 7$ . A doua condiție, cu $a_8 = a_1 + 7r$ , $a_7 = a_1 + 6r$ și $a_4 = a_1 + 3r$ :
$\begin{aligned} a_8 - a_7 &= r \\ 2a_4 &= 2a_1 + 6r \\ r &= 2a_1 + 6r \\ 0 &= 2a_1 + 5r \end{aligned}$
Diferența $a_8 - a_7 = (a_1 + 7r) - (a_1 + 6r)$ este exact rația. Apoi muți $r$ în dreapta.
$\begin{cases} a_1 - r = 7 \\ 2a_1 + 5r = 0 \end{cases}$
2. Rezolvăm sistemul și verificăm
Din prima ecuație, $a_1 = 7 + r$ . Înlocuiești în a doua (metoda substituției, din gimnaziu):
$\begin{aligned} 2(7 + r) + 5r &= 0 \\ 14 + 7r &= 0 \\ r &= -2 \end{aligned}$
Atunci $a_1 = 7 + (-2) = 5$ .
Verificare: $a_2 = 3$ , $a_6 = -5$ , $a_4 = -1$ , deci $a_2 - a_6 + a_4 = 3 + 5 - 1 = 7$ ✓. $a_8 = -9$ și $a_7 = -7$ , deci $a_8 - a_7 = -2$ , iar $2a_4 = -2$ ✓.

Răspuns

a_1 = 5

și

r = -2

.

i) $a_2 + a_5 - a_8 = 6$ , $a_1 + a_6 = -1$

Scrie termenii prin

a_1

și

r

. Prima condiție se simplifică mult. La final, rația iese fracție.

1. Simplificăm fiecare condiție
Cu $a_2 = a_1 + r$ , $a_5 = a_1 + 4r$ , $a_8 = a_1 + 7r$ și $a_6 = a_1 + 5r$ , cele două condiții sunt:
$\begin{aligned} &(a_1 + r) + (a_1 + 4r) \\ &\quad - (a_1 + 7r) = 6 \end{aligned}$
$a_1 + (a_1 + 5r) = -1$
Verifică-te
Cât este membrul stâng al primei ecuații, după ce strângi termenii asemenea?
$\begin{cases} a_1 - 2r = 6 \\ 2a_1 + 5r = -1 \end{cases}$
A doua ecuație: $a_1 + a_1 = 2a_1$ și $5r$ rămâne.
2. Substituție și aflăm $r$
Din prima ecuație, $a_1 = 6 + 2r$ . Înlocuiești în a doua:
$\begin{aligned} 2(6 + 2r) + 5r &= -1 \\ 12 + 9r &= -1 \\ 9r &= -13 \end{aligned}$
$r = -\frac{13}{9}$
Fracția nu se simplifică, deoarece 13 este prim. Nu te speria: rația nu trebuie să fie număr întreg.
Verifică-te
Cât este $a_1 = 6 + 2r = 6 + 2 \cdot \left(-\frac{13}{9}\right)$ ?
3. Verificăm în enunț
Cu fracții, $a_1 = \frac{28}{9}$ și $r = -\frac{13}{9}$ (toate au numitorul 9):
$\begin{aligned} a_2 &= \frac{15}{9} \\ a_5 &= -\frac{24}{9} \\ a_8 &= -\frac{63}{9} \end{aligned}$
$\begin{aligned} a_2 + a_5 - a_8 &= \frac{15 - 24 + 63}{9} \\ &= \frac{54}{9} = 6 \end{aligned}$
$a_6 = \frac{28 - 65}{9} = -\frac{37}{9}$ , deci $a_1 + a_6 = \frac{28 - 37}{9} = -1$ ✓. Ambele condiții se verifică.

Răspuns

a_1 = \frac{28}{9}

și

r = -\frac{13}{9}

.

j) $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 120$ , $a_1 + a_2 + a_3 = 15$

Suma celor trei termeni, scrisă prin

a_1

și

r

, se simplifică: ce termen rămâne? Apoi produsul devine o diferență de pătrate.

1. Suma ne dă termenul $a_2$
Metoda e aceeași: scrii termenii prin $a_1$ și $r$ . Sunt trei termeni consecutivi, $a_1$ , $a_2 = a_1 + r$ și $a_3 = a_1 + 2r$ , iar prima condiție (suma) este:
$\begin{aligned} &a_1 + (a_1 + r) \\ &\quad + (a_1 + 2r) = 15 \end{aligned}$
$3a_1 + 3r = 15$
Împarți ambii membri prin 3. Observă că $a_1 + r$ este chiar $a_2$ .
Verifică-te
Cât este $a_2$ ?
2. Produsul dă o ecuație în $r$
Din $a_2 = 5$ rezultă $a_1 = 5 - r$ și $a_3 = a_1 + 2r = 5 + r$ . Cei trei termeni sunt $5 - r$ , $5$ și $5 + r$ , iar produsul lor este $120$ :
$(5 - r) \cdot 5 \cdot (5 + r) = 120$
Împarți prin 5, apoi folosești diferența de pătrate (din gimnaziu):
$25 - r^2 = 24 \quad\Rightarrow\quad r^2 = 1$
Ecuația $r^2 = 1$ are două soluții, $r = 1$ și $r = -1$ . Enunțul nu impune semnul rației, deci ambele se păstrează. Pentru fiecare, $a_1 = a_2 - r = 5 - r$ :
$r$ $a_1 = 5 - r$
$1$ $4$
$-1$ $6$
3. Verificăm ambele soluții
$a_1 = 4$ , $r = 1$ : termenii sunt $4, 5, 6$ . Suma $15$ ✓, produsul $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ ✓.
$a_1 = 6$ , $r = -1$ : termenii sunt $6, 5, 4$ . Suma $15$ ✓, produsul $120$ ✓.
Sunt aceleași trei numere, în ordine crescătoare sau descrescătoare.

$r$	$a_1 = 5 - r$
$1$	$4$
$-1$	$6$

Răspuns

Sunt două soluții:

a_1 = 4

și

r = 1

, sau

a_1 = 6

și

r = -1

.

Exercițiul 12 · Primul termen și rația din condiții

a)a5=27a_5 = 27a5​=27, a27=60a_{27} = 60a27​=60

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: totul prin a1a_1a1​ și rrr ✓

3. Scădem ecuațiile și aflăm rrr ✓

4. Verificăm în enunț ✓

b)a23=32a_{23} = 32a23​=32, a32=23a_{32} = 23a32​=23

1. Sistemul și rația ✓

2. Aflăm a1a_1a1​ și verificăm ✓

c)a20=0a_{20} = 0a20​=0, a60=−80a_{60} = -80a60​=−80

1. Sistemul și rația ✓

2. Verificăm ✓

d)a4+a10=−5a_4 + a_{10} = -5a4​+a10​=−5, 2a1−4a7=112a_1 - 4a_7 = 112a1​−4a7​=11

1. Ce ni se cere ✓

2. Condițiile devin un sistem ✓

3. Reducem pe a1a_1a1​ și aflăm rrr ✓

4. Verificăm în enunț ✓

e)a1+a7=42a_1 + a_7 = 42a1​+a7​=42, a6−a3=9a_6 - a_3 = 9a6​−a3​=9

1. Condițiile devin un sistem ✓

2. Aflăm a1a_1a1​ și verificăm ✓

f)a2+a4=16a_2 + a_4 = 16a2​+a4​=16, a1⋅a5=28a_1 \cdot a_5 = 28a1​⋅a5​=28

1. Condițiile prin a1a_1a1​ și rrr ✓

2. A doua condiție dă o ecuație în rrr ✓

3. Verificăm ambele soluții ✓

g)a1+a2+a3=24a_1 + a_2 + a_3 = 24a1​+a2​+a3​=24, a2+a3+a3=36a_2 + a_3 + a_3 = 36a2​+a3​+a3​=36

1. Condițiile devin un sistem ✓

2. Scădem ecuațiile și aflăm rrr ✓

3. Verificăm în enunț ✓

h)a2−a6+a4=7a_2 - a_6 + a_4 = 7a2​−a6​+a4​=7, a8−a7=2a4a_8 - a_7 = 2a_4a8​−a7​=2a4​

1. Simplificăm fiecare condiție ✓

2. Rezolvăm sistemul și verificăm ✓

i)a2+a5−a8=6a_2 + a_5 - a_8 = 6a2​+a5​−a8​=6, a1+a6=−1a_1 + a_6 = -1a1​+a6​=−1

1. Simplificăm fiecare condiție ✓

2. Substituție și aflăm rrr ✓

3. Verificăm în enunț ✓

j)a1⋅a2⋅a3=120a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 120a1​⋅a2​⋅a3​=120, a1+a2+a3=15a_1 + a_2 + a_3 = 15a1​+a2​+a3​=15

1. Suma ne dă termenul a2a_2a2​ ✓

2. Produsul dă o ecuație în rrr ✓

3. Verificăm ambele soluții ✓

a) $a_5 = 27$ , $a_{27} = 60$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: totul prin $a_1$ și $r$

3. Scădem ecuațiile și aflăm $r$

4. Verificăm în enunț

b) $a_{23} = 32$ , $a_{32} = 23$

1. Sistemul și rația

2. Aflăm $a_1$ și verificăm

c) $a_{20} = 0$ , $a_{60} = -80$

1. Sistemul și rația

2. Verificăm

d) $a_4 + a_{10} = -5$ , $2a_1 - 4a_7 = 11$

1. Ce ni se cere

2. Condițiile devin un sistem

3. Reducem pe $a_1$ și aflăm $r$

4. Verificăm în enunț

e) $a_1 + a_7 = 42$ , $a_6 - a_3 = 9$

1. Condițiile devin un sistem

2. Aflăm $a_1$ și verificăm

f) $a_2 + a_4 = 16$ , $a_1 \cdot a_5 = 28$

1. Condițiile prin $a_1$ și $r$

2. A doua condiție dă o ecuație în $r$

3. Verificăm ambele soluții

g) $a_1 + a_2 + a_3 = 24$ , $a_2 + a_3 + a_3 = 36$

1. Condițiile devin un sistem

2. Scădem ecuațiile și aflăm $r$

3. Verificăm în enunț

h) $a_2 - a_6 + a_4 = 7$ , $a_8 - a_7 = 2a_4$

1. Simplificăm fiecare condiție

2. Rezolvăm sistemul și verificăm

i) $a_2 + a_5 - a_8 = 6$ , $a_1 + a_6 = -1$

1. Simplificăm fiecare condiție

2. Substituție și aflăm $r$

3. Verificăm în enunț

j) $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 120$ , $a_1 + a_2 + a_3 = 15$

1. Suma ne dă termenul $a_2$

2. Produsul dă o ecuație în $r$

3. Verificăm ambele soluții