Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 13

Exercițiul 13 · Suma a doi termeni, fără $c_1$ și $r$

Dacă

(c_n)_{n\ge1}

este progresie aritmetică și

c_3 + c_{19} = 10

, calculați

c_6 + c_{16}

Calculează $c_6 + c_{16}$ , știind că $c_3 + c_{19} = 10$ .

Scrie fiecare termen prin

c_1

și

r

, cu formula

c_n = c_1 + (n-1)r

. Compară ce obții pentru

c_3 + c_{19}

cu ce obții pentru

c_6 + c_{16}

1. Ce ni se cere
Știm că suma dintre termenul al treilea și termenul al 19-lea al progresiei este 10. Trebuie să aflăm suma dintre termenul al șaselea și al 16-lea.
Nu cunoaștem nici primul termen $c_1$ , nici rația $r$ . Avem o singură ecuație și două necunoscute, deci nu le putem afla pe amândouă. Poate însă nu ne trebuie: poate cele două sume au ceva în comun.
2. Ideea: scriem termenii prin $c_1$ și $r$
Ca la exemplele rezolvate din culegere, exprimăm fiecare termen prin $c_1$ și $r$ , cu formula termenului general din breviar:
$c_n = c_1 + (n-1)r$
Până la termenul de rang $n$ se fac $n - 1$ pași, fiecare adăugând rația.
Pentru $c_3$ sunt 2 pași, iar pentru $c_{19}$ sunt 18 pași:
$\begin{aligned} c_3 &= c_1 + 2r \\ c_{19} &= c_1 + 18r \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este suma $c_3 + c_{19}$ , scrisă prin $c_1$ și $r$ ?
3. Scriem și $c_6 + c_{16}$
La fel, $c_6$ are 5 pași, iar $c_{16}$ are 15 pași:
$\begin{aligned} c_6 + c_{16} &= (c_1 + 5r) \\ &\quad + (c_1 + 15r) \\ &= 2c_1 + 20r \end{aligned}$
Verifică-te
Comparând cu pasul 2 și cu enunțul, cât este $c_6 + c_{16}$ ?

Rangurile

3

și

19

au suma

22

, iar rangurile

6

și

16

au tot suma

22

. Asta e motivul. Pentru doi termeni oarecare, de ranguri

p

și

q

c_p + c_q = 2c_1 + (p + q - 2)r

Rangurile intră în formulă doar prin suma

p + q

Verificăm pe două progresii cu

c_3 + c_{19} = 10

$c_1$ , $r$	$c_3 + c_{19}$	$c_6 + c_{16}$
$1$ , $\frac25$	$1{,}8 + 8{,}2 = 10$	$3 + 7 = 10$
$-5$ , $1$	$-3 + 13 = 10$	$0 + 10 = 10$

Verifică-te

Care pereche de termeni are, în orice progresie aritmetică, aceeași sumă ca

c_3 + c_{19}

Răspuns

c_6 + c_{16} = 10