MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 14

Exercițiul 14 · Este progresie aritmetică? (din formulă)

Este progresie aritmetică șirul dat de formula de mai jos, pentru n≥1n \ge 1? Dacă da, care este rația?

a)an=2n−3a_n = 2n - 3, n≥1n \ge 1

Un șir este progresie aritmetică dacă diferența ak−ak−1a_k - a_{k-1} este aceeași pentru orice k≥2k \ge 2. Scrie ak−1a_{k-1} punând k−1k - 1 în locul lui nn și calculează diferența.

  1. 1. Ce ni se cere

    Șirul este dat printr-o formulă: pui în locul lui nn un număr natural nenul și obții termenul de pe locul acela. Primii termeni sunt:
    nn11223344
    an=2n−3a_n = 2n - 3−1-1113355
    Pare că de la un termen la următorul se adaugă 2. Dar șirul are o infinitate de termeni și nu-i putem verifica pe toți. Ne trebuie un calcul care să acopere orice loc deodată.

  2. 2. Ideea: diferența ak−ak−1a_k - a_{k-1}, pentru orice kk

    Așa face și culegerea la exemplul rezolvat 3. Într-o progresie aritmetică fiecare termen este cel dinainte plus rația, deci diferența dintre doi termeni consecutivi este mereu aceeași. Și invers: dacă diferența ak−ak−1a_k - a_{k-1} nu depinde de kk, șirul este progresie aritmetică.

    Aici k≥2k \ge 2 este un număr oarecare. Ca să scrii termenul de pe locul k−1k - 1, pui k−1k - 1 în locul lui nn în formulă.

    Verifică-te

    Cum se scrie ak−1a_{k-1}?

  3. 3. Calculăm diferența

    Scădem termenul dinainte din cel următor. Paranteza din spatele semnului minus schimbă semnele termenilor din ea:
    ak−ak−1=(2k−3)−(2k−5)\begin{aligned} & a_k - a_{k-1} \\ &= (2k - 3) - (2k - 5) \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este această diferență?
    Rezultatul nu conține pe kk: diferența este 22 pentru orice k≥2k \ge 2. Deci șirul este progresie aritmetică, cu rația r=2r = 2.

  4. 4. Verificăm

    Pe primii termeni din tabel: 1−(−1)=21 - (-1) = 2, 3−1=23 - 1 = 2, 5−3=25 - 3 = 2 ✓. Exact ce arată calculul general, dar acesta e valabil și pentru termenii pe care nu i-am scris.
Răspuns
Da, (an)(a_n) este progresie aritmetică, cu rația r=2r = 2 (și primul termen a1=−1a_1 = -1).

b)bn=10−7nb_n = 10 - 7n, n≥1n \ge 1

Metoda de la a): calculează bk−bk−1b_k - b_{k-1}. Atenție când scrii bk−1=10−7(k−1)b_{k-1} = 10 - 7(k - 1): minusul din fața parantezei schimbă ambele semne.

  1. 1. Ce e nou: coeficientul lui nn este negativ

    Metoda e cea de la a): calculezi bk−bk−1b_k - b_{k-1} și vezi dacă depinde de kk. Nou este că în formulă nn apare cu minus, deci trebuie atenție la semne.

    Punem k−1k - 1 în locul lui nn și desfacem paranteza:

    bk−1=10−7(k−1)=10−7k+7=17−7k\begin{aligned} b_{k-1} &= 10 - 7(k - 1) \\ &= 10 - 7k + 7 \\ &= 17 - 7k \end{aligned}
    Minusul din fața parantezei 7(k−1)7(k - 1) schimbă semnul ambilor termeni: −7k-7k și +7+7.

    Verifică-te

    Cât este atunci bk−bk−1=(10−7k)−(17−7k)b_k - b_{k-1} = (10 - 7k) - (17 - 7k)?

  2. 2. Concluzia și verificarea

    Diferența −7-7 nu depinde de kk, deci șirul este progresie aritmetică cu rația r=−7r = -7. Rația negativă înseamnă că termenii scad.
    nn112233
    bn=10−7nb_n = 10 - 7n33−4-4−11-11
    Diferențele: −4−3=−7-4 - 3 = -7 și −11−(−4)=−7-11 - (-4) = -7 ✓.
Răspuns
Da, (bn)(b_n) este progresie aritmetică, cu rația r=−7r = -7.

c)cn=n+1nc_n = \dfrac{n+1}{n}, n≥1n \ge 1

Metoda de la a): calculează ck−ck−1c_k - c_{k-1}. Aici avem fracții cu numitori diferiți, kk și k−1k - 1, deci adu-le la numitorul comun k(k−1)k(k - 1).

  1. 1. Ce e nou: diferența a două fracții

    Ca la a), calculezi ck−ck−1c_k - c_{k-1}, cu k≥2k \ge 2. Termenul de pe locul k−1k - 1 se obține punând k−1k - 1 în locul lui nn:
    ck−1=(k−1)+1k−1=kk−1c_{k-1} = \dfrac{(k-1)+1}{k-1} = \dfrac{k}{k-1}
    Numitorii kk și k−1k - 1 sunt diferiți, deci aduci fracțiile la numitorul comun k(k−1)k(k - 1): amplifici prima fracție cu k−1k - 1, iar a doua cu kk.
    ck−ck−1=k+1k−kk−1\begin{aligned} c_k - c_{k-1} &= \dfrac{k+1}{k} \\ &\quad - \dfrac{k}{k-1} \end{aligned}
    Cu numitorul comun:
    ck−ck−1=(k+1)(k−1)−k2k(k−1)\begin{aligned} & c_k - c_{k-1} \\ &= \dfrac{(k+1)(k-1) - k^2}{k(k-1)} \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este numărătorul, (k+1)(k−1)−k2(k+1)(k-1) - k^2?

  2. 2. Diferența depinde de kk, deci nu este progresie

    ck−ck−1=−1k(k−1)c_k - c_{k-1} = -\dfrac{1}{k(k-1)}
    Rezultatul conține pe kk, deci diferența se schimbă de la un loc la altul.
    Se vede și pe termenii concreți: c1=2c_1 = 2, c2=32c_2 = \frac32, c3=43c_3 = \frac43, c4=54c_4 = \frac54.

    Verifică-te

    Cât este c4−c3=54−43c_4 - c_3 = \frac54 - \frac43?
    Diferențele −12-\frac12, −16-\frac16, −112-\frac1{12} sunt diferite (se apropie de 0, dar nu rămân egale). Pentru progresie aritmetică ar fi trebuit să fie toate egale. Deci șirul nu este progresie aritmetică.
Răspuns
Nu, (cn)(c_n) nu este progresie aritmetică: diferența ck−ck−1=−1k(k−1)c_k - c_{k-1} = -\frac{1}{k(k-1)} depinde de kk.

d)dn=5−8n2d_n = \dfrac{5-8n}{2}, n≥1n \ge 1

Metoda de la a) și b): calculezi dk−dk−1d_k - d_{k-1}. Cele două fracții au același numitor, 2, deci scazi numărătorii și împarți la 2. Nu uita să împarți la 2 la final.

  1. 1. Ce e nou: formula este o fracție cu numitorul 2

    Același calcul ca la a) și b). Termenul de pe locul k−1k - 1 se obține punând k−1k - 1 în locul lui nn:
    dk−1=5−8(k−1)2=13−8k2d_{k-1} = \dfrac{5 - 8(k-1)}{2} = \dfrac{13 - 8k}{2}
    Ca la b): −8(k−1)=−8k+8-8(k - 1) = -8k + 8, iar 5+8=135 + 8 = 13.
    Ambele fracții au numitorul 2, deci le scazi scăzând numărătorii:
    dk−dk−1=(5−8k)−(13−8k)2\begin{aligned} & d_k - d_{k-1} \\ &= \dfrac{(5 - 8k) - (13 - 8k)}{2} \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este numărătorul, (5−8k)−(13−8k)(5 - 8k) - (13 - 8k)?

  2. 2. Împărțim la 2 și verificăm

    dk−dk−1=−82=−4d_k - d_{k-1} = \dfrac{-8}{2} = -4
    Numărătorul −8-8 încă nu este rația: mai împarți la numitorul 2.
    Diferența −4-4 nu depinde de kk, deci șirul este progresie aritmetică cu rația r=−4r = -4.
    nn112233
    dn=5−8n2d_n = \frac{5 - 8n}{2}−32-\frac32−112-\frac{11}{2}−192-\frac{19}{2}
    Diferențele: −112−(−32)=−4-\frac{11}{2} - \left(-\frac32\right) = -4 și −192−(−112)=−4-\frac{19}{2} - \left(-\frac{11}{2}\right) = -4 ✓.
Răspuns
Da, (dn)(d_n) este progresie aritmetică, cu rația r=−4r = -4.