Exercițiul 15 · Trei numere în progresie aritmetică

a) $x+2$ , $2x+3$ , $4x+5$

Trei numere sunt în progresie aritmetică exact atunci când cel din mijloc este media aritmetică a celorlalte două. Scrie această egalitate și rezolvă ecuația în

x

.

1. Ce ni se cere
Cele trei numere depind de $x$ . De exemplu, pentru $x = 0$ ele sunt $2$ , $3$ , $5$ : de la $2$ la $3$ se urcă cu $1$ , iar de la $3$ la $5$ se urcă cu $2$ . Salturile diferă, deci pentru $x = 0$ numerele nu sunt în progresie aritmetică.
Căutăm valorile lui $x$ pentru care cele două salturi sunt egale. „În ordinea dată” înseamnă că $x + 2$ este primul termen, $2x + 3$ al doilea și $4x + 5$ al treilea.
2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor
Metoda este cea din exemplul rezolvat 4. Trei numere $u$ , $v$ , $w$ sunt în progresie aritmetică exact atunci când saltul de la $u$ la $v$ este egal cu saltul de la $v$ la $w$ :
$\begin{aligned} & v - u = w - v \\ & \iff 2v = u + w \end{aligned}$
Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor: $v = \frac{u + w}{2}$ .
O singură ecuație spune tot ce cere enunțul, în ambele sensuri.
3. Scriem și rezolvăm ecuația
Aici $v = 2x + 3$ , $u = x + 2$ , $w = 4x + 5$ . Înmulțești paranteza cu 2 și aduni termenii din dreapta:
$\begin{aligned} 2(2x + 3) &= (x + 2) \\ &\quad + (4x + 5) \\ 4x + 6 &= 5x + 7 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $x$ din ecuația $4x + 6 = 5x + 7$ ?
4. Verificăm
Pentru $x = -1$ calculezi cele trei numere:
Număr Pentru $x = -1$
$x + 2$ $-1 + 2 = 1$
$2x + 3$ $-2 + 3 = 1$
$4x + 5$ $-4 + 5 = 1$
Verifică-te
Numerele $1$ , $1$ , $1$ formează o progresie aritmetică?

Număr	Pentru $x = -1$
$x + 2$	$-1 + 2 = 1$
$2x + 3$	$-2 + 3 = 1$
$4x + 5$	$-4 + 5 = 1$

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru

x = -1

(se obțin

1

,

1

,

1

, cu rația

0

).

b) $3x-6$ , $x+3$ , $5x+7$

Metoda de la a): dublul termenului din mijloc este egal cu suma vecinilor. De data aceasta

x

iese fracție.

1. Scriem ecuația
Metoda este cea de la a). Termenul din mijloc este $x + 3$ , iar vecinii lui sunt $3x - 6$ și $5x + 7$ :
$\begin{aligned} 2(x + 3) &= (3x - 6) \\ &\quad + (5x + 7) \\ 2x + 6 &= 8x + 1 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $x$ din ecuația $2x + 6 = 8x + 1$ ?

2. Verificăm cu fracții

Pentru

x = \frac56

calculezi numerele și le scrii cu numitorul 6:

Număr	Pentru $x = \frac56$
$3x - 6$	$\frac52 - 6 = -\frac72 = -\frac{21}{6}$
$x + 3$	$\frac56 + \frac{18}{6} = \frac{23}{6}$
$5x + 7$	$\frac{25}{6} + \frac{42}{6} = \frac{67}{6}$

Saltul este

\frac{23}{6} - \left(-\frac{21}{6}\right) = \frac{44}{6}

, iar

\frac{67}{6} - \frac{23}{6} = \frac{44}{6}

✓. Rația este

\frac{22}{3}

.

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru

x = \frac56

(rația este

\frac{22}{3}

).

c) $3x-6$ , $5x-8$ , $x^2-4$

Metoda de la a): dublul termenului din mijloc este egal cu suma vecinilor. Acum apare

x^2

, deci obții o ecuație de gradul al doilea, pe care o rezolvi cu discriminantul, ca în gimnaziu.

1. Ce e nou: ecuația este de gradul al doilea
Metoda este cea de la a) și din exemplul rezolvat 4. Termenul din mijloc este $5x - 8$ :
$\begin{aligned} 2(5x - 8) &= (3x - 6) \\ &\quad + (x^2 - 4) \\ 10x - 16 &= x^2 + 3x - 10 \end{aligned}$
Treci totul în partea în care $x^2$ are semnul plus. Din $10x - 16$ scazi $10x$ și adaugi $16$ pe ambele părți:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Ecuație de gradul al doilea cu $a = 1$ , $b = -7$ , $c = 6$ .
Discriminantul îl cunoști din gimnaziu: $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Verifică-te
Cât este discriminantul $\Delta = b^2 - 4ac$ ?
2. Rădăcinile și verificarea
$\sqrt{\Delta} = 5$ , iar $-b = 7$ :
$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{7 - 5}{2} = 1 \\ x_2 &= \dfrac{7 + 5}{2} = 6 \end{aligned}$
Pentru $x = 6$ numerele sunt $3 \cdot 6 - 6 = 12$ , $5 \cdot 6 - 8 = 22$ și $6^2 - 4 = 32$ : salturile sunt $10$ și $10$ ✓.
Verifică-te
Pentru $x = 1$ numerele sunt $-3$ , $-3$ , $-3$ . Rămâne $x = 1$ soluție?

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru

x = 1

(se obțin

-3

,

-3

,

-3

) și pentru

x = 6

(se obțin

12

,

22

,

32

). Deci

x \in \{1, 6\}

.

d) $5x-3$ , $4$ , $x^2+5$

Metoda de la a). Termenul din mijloc este chiar numărul

4

, care nu depinde de

x

. Ecuația

2 \cdot 4 = (5x - 3) + (x^2 + 5)

este de gradul al doilea.

1. Scriem ecuația
Termenul din mijloc este $4$ : nu conține pe $x$ , dar regula rămâne aceeași, $2v = u + w$ .
$\begin{aligned} 2 \cdot 4 &= (5x - 3) + (x^2 + 5) \\ 8 &= x^2 + 5x + 2 \end{aligned}$
Verifică-te
Treci totul în dreapta, ca $x^2$ să rămână cu plus. Ce ecuație obții?
2. Rezolvăm și verificăm
Aici $a = 1$ , $b = 5$ , $c = -6$ , deci $\Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$ și $\sqrt{\Delta} = 7$ . Atenție: $-4ac$ este $+24$ , pentru că $c$ este negativ.
$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-5 - 7}{2} = -6 \\ x_2 &= \dfrac{-5 + 7}{2} = 1 \end{aligned}$
Pentru $x = 1$ numerele sunt $2$ , $4$ , $6$ , cu rația $2$ ✓. Pentru $x = -6$ primele două numere sunt $5 \cdot (-6) - 3 = -33$ și $4$ .
Verifică-te
Cât este al treilea număr, $x^2 + 5$ , pentru $x = -6$ ?

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru

x = 1

(se obțin

2

,

4

,

6

) și pentru

x = -6

(se obțin

-33

,

4

,

41

). Deci

x \in \{-6, 1\}

.

e) $2x^2-x-8$ , $x^2+x-4$ , $2x^2-3x$

Metoda de la a). După ce strângi termenii asemenea,

x^2

se reduce parțial și rămâne o ecuație fără termen liber. Rezolv-o dând factor comun, nu împărțind la

x

.

1. Scriem ecuația
Termenul din mijloc este $x^2 + x - 4$ . Mai întâi strângi termenii din dreapta:
$\begin{aligned} & 2(x^2 + x - 4) \\ &= (2x^2 - x - 8) \\ &\quad + (2x^2 - 3x) \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $(2x^2 - x - 8) + (2x^2 - 3x)$ ?
2. Rezolvăm fără să împărțim la $x$
Ecuația este $2x^2 + 2x - 8 = 4x^2 - 4x - 8$ . Treci totul în dreapta, unde $x^2$ are coeficient pozitiv:
$\begin{aligned} 0 &= 2x^2 - 6x \\ 0 &= 2x(x - 3) \end{aligned}$
Dai factor comun pe $2x$ , ca în gimnaziu.
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $x$ este $2x(x - 3) = 0$ ?
Nu împărți la $x$
Dacă ai împărți ambii membri la $x$ , ai pierde soluția $x = 0$ , pentru că împărțirea la $0$ nu e permisă. Un produs este $0$ când unul dintre factori este $0$ .
Verificare: pentru $x = 0$ numerele sunt $-8$ , $-4$ , $0$ (rația $4$ ); pentru $x = 3$ sunt $7$ , $8$ , $9$ (rația $1$ ) ✓. Ambele valori sunt bune.

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru

x = 0

(se obțin

-8

,

-4

,

0

) și pentru

x = 3

(se obțin

7

,

8

,

9

). Deci

x \in \{0, 3\}

.

f) $\dfrac{x-1}{x}$ , $\dfrac{x-2}{x}$ , $\dfrac{x-3}{x}$

Numitorul

x

trebuie să fie diferit de

0

, altfel numerele nu există. Aplică

2v = u + w

și înmulțește cu

x

.

1. Domeniul și ecuația
Numerele sunt fracții cu numitorul $x$ , deci trebuie $x \ne 0$ . Pentru $x = 0$ ele nu există.
Aplicăm regula $2v = u + w$ :
$\begin{aligned} 2 \cdot \dfrac{x - 2}{x} &= \dfrac{x - 1}{x} \\ &\quad + \dfrac{x - 3}{x} \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este suma din dreapta, $\frac{x-1}{x} + \frac{x-3}{x}$ ?
2. O egalitate adevărată pentru orice $x$
Înmulțești cu $x$ (permis, pentru că $x \ne 0$ ). În stânga, $2(x - 2) = 2x - 4$ :
$2x - 4 = 2x - 4$
Egalitatea este adevărată pentru orice $x$ .
Ecuația nu ne restrânge valorile lui $x$ . Singura limită vine din enunț: $x \ne 0$ . Verifică pe un exemplu.
Verifică-te
Pentru $x = 2$ numerele sunt $\frac12$ , $0$ , $-\frac12$ . Care este rația?
Același rezultat îl dau direct salturile dintre numerele vecine:
$\begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x} - \dfrac{x - 1}{x} &= -\dfrac1x \\ \dfrac{x - 3}{x} - \dfrac{x - 2}{x} &= -\dfrac1x \end{aligned}$

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru orice

x \in \mathbb{R}^*

, adică pentru orice

x \ne 0

. Rația este

-\frac1x

.

g) $2x - \dfrac{1}{2x}$ , $x - \dfrac1x$ , $\dfrac x2 - \dfrac2x$ , cu $x \ne 0$

Aplică

2v = u + w

. Ca să scapi de fracții, înmulțește ambii membri cu

2x

(permis, pentru că

x \ne 0

).

1. Scriem ecuația și strângem termenii
Regula $2v = u + w$ cu termenul din mijloc $x - \frac1x$ :
$\begin{aligned} 2\left(x - \dfrac1x\right) &= \left(2x - \dfrac{1}{2x}\right) \\ &\quad + \left(\dfrac x2 - \dfrac2x\right) \end{aligned}$
În dreapta, $2x + \frac x2 = \frac{5x}{2}$ , iar fracțiile cu $x$ la numitor le grupezi:
$\begin{aligned} 2x - \dfrac2x &= \dfrac{5x}{2} \\ &\quad - \left(\dfrac{1}{2x} + \dfrac2x\right) \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $\frac{1}{2x} + \frac2x$ ?
2. Înmulțim cu $2x$ și rezolvăm
Ecuația este $2x - \frac2x = \frac{5x}{2} - \frac{5}{2x}$ . Înmulțești fiecare termen cu $2x$ :
$\begin{aligned} 4x^2 - 4 &= 5x^2 - 5 \\ 1 &= x^2 \end{aligned}$
Treci $4x^2$ în dreapta și $-5$ în stânga: $-4 + 5 = 5x^2 - 4x^2$ .
Verifică-te
Care sunt valorile lui $x$ din $x^2 = 1$ ?
Verificare: pentru $x = 1$ numerele sunt $\frac32$ , $0$ , $-\frac32$ (rația $-\frac32$ ); pentru $x = -1$ sunt $-\frac32$ , $0$ , $\frac32$ (rația $\frac32$ ) ✓. Ambele valori sunt diferite de $0$ .

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru

x = 1

(se obțin

\frac32

,

0

,

-\frac32

) și pentru

x = -1

(se obțin

-\frac32

,

0

,

\frac32

). Deci

x \in \{-1, 1\}

.

h) $3^x - 1$ , $3^x$ , $3^x + 1$

Pentru un

x

fixat,

3^x

este un număr oarecare, același în toate cele trei expresii. Notează-l

t

și aplică

2v = u + w

pentru

t - 1

,

t

,

t + 1

.

1. Ce e nou: $3^x$ este doar un număr
Puterea $3^x$ apare în toate cele trei numere. Pentru un $x$ ales, $3^x$ este pur și simplu un număr. De exemplu, pentru $x = 2$ este $3^2 = 9$ , pentru $x = 0$ este $3^0 = 1$ , iar pentru $x = -1$ este $3^{-1} = \frac13$ . Puterile cu exponent întreg le știi din gimnaziu; exponenții reali vin mai târziu, în capitolul 3C, iar aici nu ne trebuie.
Același număr apare în toți cei trei termeni, deci îl notăm $t = 3^x$ . Numerele devin $t - 1$ , $t$ , $t + 1$ și aplicăm regula $2v = u + w$ cu $v = t$ . Dublul termenului din mijloc este $2t$ , iar în dreapta trebuie să aduni vecinii.
Verifică-te
Cât este suma din dreapta, $(t - 1) + (t + 1)$ ?
$2t = (t - 1) + (t + 1)$
Ecuația se reduce la $2t = 2t$ .
2. Adevărat pentru orice $x$
Ecuația devine $2t = 2t$ , adevărată pentru orice $t$ , deci pentru orice $x$ . Se vede și din salturi: de la $t - 1$ la $t$ se urcă $1$ , iar de la $t$ la $t + 1$ se urcă tot $1$ , oricât ar fi $t$ . Rația este mereu $1$ .
Verifică-te
Pentru $x = -1$ avem $3^x = \frac13$ . Cât este primul număr, $3^x - 1$ ?

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru orice

x \in \mathbb{R}

, cu rația

1

.

Exercițiul 15 · Trei numere în progresie aritmetică

a)x+2x+2x+2, 2x+32x+32x+3, 4x+54x+54x+5

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor ✓

3. Scriem și rezolvăm ecuația ✓

4. Verificăm ✓

b)3x−63x-63x−6, x+3x+3x+3, 5x+75x+75x+7

1. Scriem ecuația ✓

2. Verificăm cu fracții ✓

c)3x−63x-63x−6, 5x−85x-85x−8, x2−4x^2-4x2−4

1. Ce e nou: ecuația este de gradul al doilea ✓

2. Rădăcinile și verificarea ✓

d)5x−35x-35x−3, 444, x2+5x^2+5x2+5

1. Scriem ecuația ✓

2. Rezolvăm și verificăm ✓

e)2x2−x−82x^2-x-82x2−x−8, x2+x−4x^2+x-4x2+x−4, 2x2−3x2x^2-3x2x2−3x

1. Scriem ecuația ✓

2. Rezolvăm fără să împărțim la xxx ✓

f)x−1x\dfrac{x-1}{x}xx−1​, x−2x\dfrac{x-2}{x}xx−2​, x−3x\dfrac{x-3}{x}xx−3​

1. Domeniul și ecuația ✓

2. O egalitate adevărată pentru orice xxx ✓

g)2x−12x2x - \dfrac{1}{2x}2x−2x1​, x−1xx - \dfrac1xx−x1​, x2−2x\dfrac x2 - \dfrac2x2x​−x2​, cu x≠0x \ne 0x=0

1. Scriem ecuația și strângem termenii ✓

2. Înmulțim cu 2x2x2x și rezolvăm ✓

h)3x−13^x - 13x−1, 3x3^x3x, 3x+13^x + 13x+1

1. Ce e nou: 3x3^x3x este doar un număr ✓

2. Adevărat pentru orice xxx ✓

a) $x+2$ , $2x+3$ , $4x+5$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor

3. Scriem și rezolvăm ecuația

4. Verificăm

b) $3x-6$ , $x+3$ , $5x+7$

1. Scriem ecuația

2. Verificăm cu fracții

c) $3x-6$ , $5x-8$ , $x^2-4$

1. Ce e nou: ecuația este de gradul al doilea

2. Rădăcinile și verificarea

d) $5x-3$ , $4$ , $x^2+5$

1. Scriem ecuația

2. Rezolvăm și verificăm

e) $2x^2-x-8$ , $x^2+x-4$ , $2x^2-3x$

1. Scriem ecuația

2. Rezolvăm fără să împărțim la $x$

f) $\dfrac{x-1}{x}$ , $\dfrac{x-2}{x}$ , $\dfrac{x-3}{x}$

1. Domeniul și ecuația

2. O egalitate adevărată pentru orice $x$

g) $2x - \dfrac{1}{2x}$ , $x - \dfrac1x$ , $\dfrac x2 - \dfrac2x$ , cu $x \ne 0$

1. Scriem ecuația și strângem termenii

2. Înmulțim cu $2x$ și rezolvăm

h) $3^x - 1$ , $3^x$ , $3^x + 1$

1. Ce e nou: $3^x$ este doar un număr

2. Adevărat pentru orice $x$